Аннотация результатов, полученных в 2014 году
При выполнении проекта в 2014 году основное внимание уделялось формулировке новых математических моделей ряда физических процессов, разработке новых методов аналитического исследования нелинейных дифференциальных уравнений, разработке методов построения приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений, и применению разработанных методов для исследования ряда физически значимых нелинейных дифференциальных уравнений. При выполнении проекта сформулированы математическая модель процесса ионной бомбардировки подложки при учете процесса поверхностной эрозий, процессов термо- и само-диффузии и наличия поверхностного напряжения подложки для случая как нормального, так и наклонного падения пучка ионов, математическая модель волновых процессов в жидкости с пузырьками газа при учете взаимного влияния отдельных пузырьков и вязкости жидкости, математическая модель самоорганизации полос адиабатического сдвига в материалах при сдвиговых деформациях при учете процессов теплопроводности и деформационного упрочнения. Предложен новый простой и эффективный метод построения аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений. Создан программный комплекс, реализующий данный метод построения аналитических решений. Исследованы аналитические свойства двух систем нелинейных дифференциальных уравнений типа "реакция-диффузия". Проведен Пенлеве-анализ рассматриваемых систем уравнений. Получены соотношения между параметрами каждой из систем, при которых возможно построение точных решения с двумя произвольными постоянными. Для каждой из систем построены аналитические решения, выраженные через элементарные и специальные функции. Рассмотрено семейство эволюционных уравнений пятого порядка для описания волн в жидкости с пузырьками газа. Для данного семейства уравнений в переменных бегущей волны построены эллиптические решения второго, четвертого и шестого порядка. Предложена концепция квазиточного или минимального по невязке решения и алгоритм поиска таких решений. Построены квазиточные решения уравнения описывающего процесс распространения нелинейных волн в жидкости с пузырьками газа. Реализован комплекс программ позволяющий автоматизировать процесс построения квазиточных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Разработан метод построения приближенные аналитические решения задач нелинейной теплопроводности и фильтрации. Метод основан на использовании в задаче автомодельных переменных и дальнейшем построении решения в виде разложения вблизи значения координаты фронта нелинейной волны. Рассмотрена задача о фильтрации газа в одномерном приближении при учете зависимости коэффициента проницаемости среды от давления газа и при постоянном давлении на границе области. Используя предложенный метод, найдены приближенные решения рассматриваемой задачи в виде ряда, слагаемые которого быстро убывает с увеличением номера слагаемого. Построены приближенные решения нелинейного уравнения теплопроводности с нелинейным источником. Найдены ограничения на параметры функции источника, при которых существуют решения с поставленным фронтом и соответствующие решения в виде рядов. Решена задача о построении и классификации равномерно движущихся конфигураций точеных вихрей на плоскости для произвольных циркуляций. Предложены дифференциальные уравнения, имеющие полиномиальные решения, корни которых задают положения точеных вихрей на плоскости для случая таких конфигураций. Изучен ряд равномерно движущихся конфигураций точеных вихрей на плоскости. Исследованы явления коллапса и разбегания точечных вихрей с произвольными циркуляциями на плоскости. Найдены дифференциальные уравнения, имеющие полиномиальные решения, корни которых задают положения точеных вихрей на плоскости для случая конфигураций коллапса и разбегания точечных вихрей. Предложены явные формулы, описывающие равновесные конфигурации точечных вихрей на плоскости и конфигурации коллапса и разбегания на плоскости. Рассмотрена динамическая система, описывающая движение точечных вихрей на сфере. Разработан эффективный метод, позволяющий находить любую равновесную конфигурацию. Получено дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют полиномы, порождающие вихревые конфигурации. Проведена классификация конфигураций, состоящих из одного и двух вихревых колец.

Аннотация результатов, полученных в 2015 году
При выполнении проекта в 2015 году разработан ряд новых методов аналитического и численного исследования нелинейных математических моделей, проведено аналитическое и численное исследование нелинейных математических моделей физических процессов, предложенных при выполнении данного проекта. Все запланированные на второй этап проекта результаты были достигнуты. Первая часть работ данного этапа проекта посвящена аналитическому исследованию нелинейных дифференциальных уравнений, используемых при описании некоторых физических процессов. В частности исследовано обобщенное уравнение Курамото – Сивашинского, использующиеся для описания нелинейных волновых процессов в активно - диссипативных средах. Показано что данное уравнение не относится к классу интегрируемых уравнений. Тем не менее, при некоторых ограничениях на параметры, для этого уравнения удается построить аналитические решения, которые были найдены при выполнении проекта. Исследованы аналитические свойства уравнения Кортевега – де Вриза и модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза с нелинейными источниками. Найдены функциональные виды источников, для которых возможно построение частных аналитических решении уравнения Кортевега-де Вриза и модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза с нелинейными полиномиальными источниками. Кроме того, при выполнении данного этапа проекта рассмотрены уравнения нелинейной диффузии и теплопроводности с нелинейными источниками, для которых построены как аналитические, так и приближенные решения. Изучалась задача о динамике как пустой, так и заполненной газом полости в жидкости, в том числе и ее N-мерное обобщение. Найдено и исследовано общее аналитическое решение данной задачи как для случая динамики пустой, так и заполненной газом полости в жидкости. Проведено исследование эллиптических решений ряда нелинейных дифференциальных уравнений, в частности системы уравнений Лоренца и системы уравнений, отвечающей гамильтониану Хенона – Хейлиса. Проведена классификация эллиптических решений данных уравнений, в явном виде построены эллиптические решения до шестого порядка включительно. Рассмотрено обобщение модели цепочки связанных осцилляторов Ферми-Паста-Улама. При переходе к непрерывному пределу и при учете слагаемых высокого порядка малости в данной модели получено обобщение уравнения Кортевега – де Вриза. Проведено исследование аналитических свойств обобщенного уравнения Кортевега – де Вриза, полученного из модели Ферми – Паста – Улама. Показано, что данное уравнение не относится к классу интегрируемых уравнений. Установлено, что данное уравнение допускает ряд аналитических решений. Рассмотрено нелинейное эволюционное уравнение для описания процесса образования структур на поверхности полупроводниковой подложки при ионной бомбардировке. Показано что данное уравнение не относиться к классу интегрируемых уравнений. Найдены ограничения на параметры данного уравнения, при которых оно допускает мероморфные решения и явные формулы, дающие соответствующие решения. Рассмотрена система нелинейных дифференциальных уравнений реакционно-диффузионного типа, описывающая конкуренцию двух биологических видов при учете квадратичной диссипации. Установлено что данная система нелинейных дифференциальных уравнений обладает аналитическими мероморфными решениями при некоторых ограничениях на параметры, соответствующие решение построены в явном виде. Исследована задача о ламинарном стационарном осесимметричном течении несжимаемой вязкой жидкости над плоским дном в случае полного проскальзывания частиц жидкости на дне. В приближении пограничного слоя получено уравнение для функции тока. Исследованы аналитические свойства данного уравнения, построены как точные, так и приближенные решения. Кроме того, при выполнении данного этапа проекта развит полиномиальный метод исследования динамики точечных вихрей на плоскости. С его помощью исследованы равномерно вращательные конфигурации точечных вихрей на плоскости с произвольными циркуляциями. Проведено исследование устойчивости ряда статических и равномерно движущихся конфигураций точечных вихрей на плоскости. Разработано обобщение полиномиального метода позволяющие находить новые семейства неклассических ортогональных полиномов, полиномиальные и рациональные решения нелинейных дифференциальных уравнений и общие аналитические решения динамических систем на плоскости. С помощью данного подхода построены новые семейства неклассические ортогональных многочленов, проинтегрированы некоторые физически значимые двух- и трехчастичные динамические системы, в частности система Эйлера и система Дарбу – Альфана. Вторая часть работ данного этапа проекта посвящена математическому моделированию ряда нелинейных процессов и явлений. В частности, при выполнении проекта разработан алгоритм и программный комплекс для трехмерного численного моделирования операций зондовой и кожной криохирургии. Предложенные алгоритм и комплекс программ успешно применены для отыскания оптимальных конфигураций крионаконечников и нагревателей со снижением вреда здоровым тканям до 30%. Кроме того при выполнении проекта сформулирована математическая модель, для описания процессов самоорганизации полос адиабатического сдвига и разработан соответствующий комплекс вычислительных программ. С его помощью исследованы количественные характеристики процесса образования полос адиабатического сдвига, проведено сравнение результатов расчетов экспериментальными данными, показавшие удовлетворительное согласие. Разработаны комплексы программ и проведено математическое моделирование процессов прогрева массива многолетнемерзлого грунта, процесса самоорганизации нанорельефа на поверхности подложек при ионной бомбардировке и процесса политропической фильтрации газа в пористой среде при двучленном законе сопротивления. В частности изучен процесс нагрева месторождения сетью скважных нагревателей и исследованы характеристики ряда типичных упорядоченных структур образующихся на поверхности подложки при ионной бомбардировке.

Аннотация результатов, полученных в 2016 году
При выполнении проекта в 2016 году коллективом научной группы сформулирован ряд новых математических моделей нелинейных процессов и явлений. Предложены методы для аналитического и численного исследования нелинейных математических моделей. Проведено аналитическое и численное исследование ряда нелинейных математических моделей, в том числе и моделей предложенных на данном этапе проекта. Все запланированные на данный этап проекта результаты были достигнуты. При выполнении первой части данного этапа проекта сформулированы новые математические модели ряда нелинейных процессов и явлений. В частности, предложена новая двухмасштабная математическая модель для описания криогенного воздействия, учитывающая влияние особенностей клеточных процессов на макроскопические свойства биоткани. Получен ряд нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка для описания процессов распространения волн в цепочке нелинейно взаимодействующих атомов. Предложена математическая модель процессов формирования полос адиабатического сдвига при высокоскоростных сдвиговых деформациях на границе раздела двух материалов. Сформулирована обобщенная математическая модель, основанная на теории Элиашберга и представляющая собой систему нелинейных интегральных уравнений, для описания физических свойств нормального и сверхпроводящего состояний вещества. Вторая часть работ данного этапа проекта посвящена разработке новых подходов для аналитического исследования нелинейных дифференциальных уравнений составляющих нелинейные математические модели. В частности предложен метод нахождения уравнений, определяющих нестепенные асимптотики для высших аналогов уравнений Пенлеве. Предложен подход для нахождения интегрируемых уравнений типа Льенара. Разработаны подходы для исследования связи между полиномиальными решениями нелинейных уравнений в частных производных и решениями нелинейных дифференциальных уравнений, составляющих нелинейные динамические системы. В третьей части данного этапа проекта рассматривается применение разработанных при выполнении проекта методов для аналитического исследования нелинейных дифференциальных уравнений, в том числе полученных при выполнении данного этапа проекта. В частности при выполнении данного этапа проекта найдены степенные и нестепенные асимптотические разложения для решений ряда высших аналогов уравнений Пенлеве из иерархий K_1, K_2, и P_1. Показано, что нестепенные асимптотики выражаются через обращение гиперэллиптических интегралов на алгебраической кривой второго рода, тригонометрические функции и через эллиптические функции Вейрштрасса. Проведено аналитическое исследование нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка, возникающих при переходе к непрерывному пределу в обобщенной модели Ферми-Паста-Улама. Показано что данные уравнения не относятся к классу уравнений для которых задача Коши может быть решена методом обратной задачи рассеяния. Построены некоторые аналитические решения данных уравнений, выраженные через эллиптические и тригонометрические функции. Предложен новый критерий интегрируемости для семейства уравнений Льенара. Показано что часть ранее известных критериев интегрируемости для уравнения Льенара являются следствием линеаризуемости с помощью нелокальных преобразований соответствующих семейств уравнений Льенара. Построено несколько новых примеров интегрируемых уравнений типа Льенара, встречающихся при описании динамики биологических систем, и найдены их общие аналитические решения. Рассмотрено семейство нелинейных дифференциальных уравнений, являющееся редукцией к переменным бегущей волны для нелинейного уравнения конвекции–диффузии с полиномиальными источниками. С помощью предложенных критериев интегрируемости для уравнений типа Льенара найдены подсемейства данного семейства уравнений, для которых возможно построение общего аналитического решения. Проведено исследование аналитических свойств обобщенной системы Лоренца, объединяющей системы Лоренца, Чена и Лу. Показано, что данная динамическая система удовлетворяет необходимым условиям теста Пенлеве при некоторых ограничениях на параметры. Построены мероморфные решения обобщенной системы Лоренца для ряда значений параметров, выраженные через тригонометрические и эллиптические функции. Исследованы свойства ряда многочастичных динамических систем на плоскости, связанных как с классическими ортогональными многочленами, так и некоторыми другими семействами многочленов. Найдены аналитические решения некоторых многочастичных динамических систем, выраженные через эллиптические функции. Проведено исследование одномерных операторов Шредингера с рациональными потенциалами. Найдены новые безмонодромные операторы Шредингера с рациональными потенциалами и проведена классификация некоторых классов таких операторов. Показано что для системы уравнений двужидностой магнитной гидродинамики в приближении холодной идеальной квази - нейтральной плазмы в переменных бегущей волны можно построить общее аналитическое решение, выраженное через эллиптическую функцию Вейерштрасса. Проведено аналитическое исследование нелинейного дифференциального уравнения являющего высшим аналогом модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза при учете активно – диссипативных процессов. Показано что данное уравнение не относится к классу интегрируемых, но при некоторых ограничениях на параметры допускает существование мероморфных решений. Построены соответствующие мероморфные решения, выраженные через эллиптические и тригонометрические функции. Четвертая часть данного этапа проекта посвящена разработке алгоритмов и комплексов программ для проведения математического моделирования процессов и явлений, математические модели которых были предложены при выполнении первой части данного этапа проекта. В частности при выполнении данного этапа проекта разработаны алгоритм и комплекс программ математического моделирования нелинейных волновых процессов описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, высокого порядка возникающими при переходе к непрерывном приделу в обобщенной модели Ферми-Паста-Улама. Изучены особенности распространения нелинейных волн описываемых данными уравнениями. C помощью разработанного на предыдущем этапе проекта программного комплекса для трехмерного численного моделирования операций зондовой и кожной криохирургии показано, что параметры фазового осреднения являются функциями температурного режима и должны определяться для каждого типа операции (расположение и размеры опухоли, количество и спецификация зондов) отдельно. Для уменьшения ущерба здоровым тканям при операциях кожной криохирургии предложен метод теплового удержания фронта клеточного некроза, основанный на введении в биоткань дополнительных нагревательных элементов. Разработан численный алгоритм и на его основе реализован программный комплекс для проведения численного моделирования процессов самоорганизации полос сдвига в материалах при высокоскоростных сдвиговых деформациях на границе раздела двух материалов. Исследовано влияние деформационного упрочнения на процесс самоорганизации полос сдвига в материалах при деформациях. Предложен ряд критериев для исследования особенностей процесса формирования полос адиабатического сдвига с учетом деформационного упрочнения. Разработаны алгоритм и комплекс программ для численного моделирования волновых процессов в жидкости под слоем льда в приближении мелкой воды и длинных волн при учете диссипации. Изучена зависимость энергии уединенной волны от времени при её распространении под слоем льда. Проведено сравнение результатов численного моделирования с имеющимися экспериментальными данными. Установлено, что характер затухания энергии волны согласуется с ранее полученными данными. Разработан программный комплекс, позволяющий выполнять численное моделирование ряда параметров нормального и сверхпроводящего состояний вещества. Проведено численное моделирование нормального и сверхпроводящего состояния фаз SH3 при высоких давлениях и определены значения критической температуры для различных значений давления, согласующиеся с экспериментальными данными. Проведено численное моделирование нормального и сверхпроводящего состояния металлического водорода при высоких давлениях, определена критическая температура перехода в сверхпроводящее состояние.