Интуитивное понимание сложности систем и процессов присуще любому человеку. Например, каждый легко может отличить сложность рисунка той или иной стены, исходя из непохожести ее элементов друг на друга и количества различающихся деталей. Но как оцифровать интуитивное представление о сложности объекта и выразить его математически? Ученые разработали универсальный метод, который позволяет оценить структурную сложность широкого класса объектов: от изображений до фазовых переходов различных физических систем.
Метод основан на пошаговом делении структуры на все более крупные блоки и последующем усреднении определенной характеристики внутри этих блоков. На каждом шаге алгоритм сравнивает «размытую» структуру с исходной и фиксирует степень изменения в виде численного коэффициента. К примеру, если система анализирует изображение, то пиксели в нем будут поделены на блоки, в каждом из которых они будут усреднены по цвету. Таким образом, если изображение состоит из множества мелких деталей, то при ближайшем же усреднении они пропадут, что увеличит различие между «размытой» и исходной структурой. При этом увеличится и численный коэффициент, выражающий сложность изображения. Та же операция повторяется уже с «размытым» изображением слой за слоем до единого среднего. В итоге ученым удается получить численный коэффициент, позволяющий количественно описать степень сложности объекта. Универсальный алгоритм применим для анализа широкого класса объектов, в том числе предметов изобразительного искусства и даже музыкальных произведений. Но главной целью ученых в данной работе являлся анализ физических процессов и фазовых переходов в магнитных материалах.
«С точки зрения структурной сложности, полностью упорядоченные и полностью неупорядоченные системы близки. Первые строятся из идентичных простых элементов, неупорядоченные представляют собой некоррелированный шум. С системами в переходном состоянии дело обстоит по-другому: они могут содержать блоки различной формы и величины, которые не повторяют друг друга. Поэтому в момент перехода из полностью упорядоченного в неупорядоченное состояние система имеет наивысшую степень сложности», — рассказывает один из авторов работы, заведующий кафедрой теоретической физики и прикладной математики УрФУ Владимир Мазуренко.
Таким образом, анализируя сложность системы во времени, ученые могут точно поймать момент перехода системы из одного состояния в другое и определить параметры, при которых это произошло.
Чтобы проверить работу алгоритма, ученые смоделировали классическую модель Изинга, описывающую переход из ферромагнитного состояния материала (магнитные моменты атомов ориентированы в одну сторону) в парамагнитное (моменты ориентированы хаотично). Авторы изучили, как меняется сложность системы при повышении температуры и ее переходе из одного состояния в другое. До достижения критической температуры — точки Кюри — магнитные моменты атомов ориентированы в одну сторону, а система полностью упорядочена и обладает нулевой сложностью. При повышении температуры ориентация магнитных моментов атомов постепенно меняется, а сложность системы растет. В точке Кюри происходит фазовый переход и сложность системы достигает максимального значения.
Ученые также смоделировали образование скирмионов во внешнем магнитном поле. Скирмионы — мельчайшие вихревые структуры в магнитном материале, которые представляют значительный интерес для развития новых технологий обработки информации. Благодаря высокой устойчивости скирмионов к внешним воздействиям, они могут служить ультракомпактной единицей для записи данных на магнитном носителе. Поэтому интересно и важно изучить, при каких условиях формируются такие устойчивые вихревые структуры. Отслеживая сложность структуры при увеличении магнитного поля с помощью предложенной методики, ученым удалось «поймать» условия перехода и образование скирмионов.
Методика позволяет отследить фазовые переходы систем на ультракоротких временах (порядка нескольких наносекунд) — например, фазовые переходы при релаксации магнитного материала после воздействия лазером. Авторы работы утверждают, что данная методика универсальна и имеет широкое применение: от классификации по сложности произведений искусства, видеоконтента и музыки до анализа квантовых фазовых переходов частиц и усовершенствования нейросетевых алгоритмов распознавания образов.
Отметим, исследование поддержали РНФ (грант № 18-12-00185), Нидерландская организация по научным исследованиям (грант № 16PR1024), Фонд Кнута и Алисы Валленберг (грант № 2018.0060).
