Проект, финансируемый Российским научным фондом, называется «Разработка математического аппарата исследования непрерывных и дискретных задач оптимизации». В коллектив вошли известные российские математики: профессор МГУ, заведующий кафедрой нелинейного анализа и оптимизации РУДН Арам Арутюнов и профессор МГУ Алексей Измаилов. В это же время наибольшее количество исследователей – молодые ученые и аспиранты. Для участия в проекте в ТГУ начали работать недавно защитившие кандидатские диссертации два выпускника аспирантуры МГУ имени М.В. Ломоносова Евгений Усков и Алексей Куренной. В научную команду также вошли выпускники Державинского, проходящие обучение в аспирантуре Норвежского университета естественных наук Евгений Бурлаков и Илья Забродский. В сентябре этого года Евгений окончил обучение в Норвегии, защитил PhD-диссертацию «Методы функционального анализа в теории нейронных полей» и вернулся в Тамбов. Сейчас он работает научным сотрудником в ТГУ имени Г.Р. Державина.
Научные проблемы, которые решают исполнители проекта, касаются одних из самых востребованных практикой математических задач нахождения экстремальных значений различных отображений. Экстремальные задачи приходится решать в любых видах человеческой деятельности. От качества их решения зависит эффективность любой работы и конкретного человека, производственных коллективов и любых общественно-экономических объединений. Такие задачи многообразны не только на практике. С точки зрения математических методов, используемых для их решения, это и функциональный анализ, и дискретная математика, и теория дифференциальных уравнений, и численные методы. В научном коллективе есть специалисты в разных областях математики, и объединяет эти далекие математические исследования единая цель – применение к проблемам оптимизации.
За три года коллективом получены результаты, получившие признания коллег. Для изучения функциональных, дифференциальных, интегральных уравнений многими исследователями теперь используются результаты участников проекта о точках совпадения отображений в метрических и упорядоченных пространствах. Точки совпадения – это естественное обобщение классического математического понятия неподвижной точки. Что означают эти термины? Пусть задан некоторый закон F преобразования элементов множества X (в математике принято называть этот закон F оператором на множестве X); его неподвижной точкой будет такой элемент x из множества X, который не изменяется в результате этого преобразования, то есть x является решением уравнения x=F(x). Оказывается, что к задаче о неподвижной точке сводятся самые разные уравнения, включая дифференциальные, а это мощнейший инструмент изучения динамики самых разных явления и процессов. В 1922 году польский математик Стефан Банах доказал теорему о существовании единственной неподвижной точки в случае, если X – это метрическое пространство, то есть в нем установлено расстояние между любыми двумя элементами, а под действием оператора F это расстояние сокращается. Эта теорема является одним из наиболее используемых утверждений анализа, широко применяется во многих разделах математики, ее модификациям и обобщениям посвящается огромное число научных публикаций. Точкой совпадения двух операторов F,G называется решение уравнения G(x)=F(x). Теорему о существовании точки совпадения для отображений метрических пространств получил Арам Владимирович Арутюнов. Если G – простейшее отображение, не изменяющее никаких элементов множества X, то теорема Арутюнова превращается в теорему Банаха.
Участникам проекта удалось получить теорему о точке совпадения в упорядоченных пространствах. Важно, что из этого результата можно вывести и большинство известных утверждений о точках совпадения и неподвижных точках в метрических пространствах, а также новые перспективные для приложений утверждения. С помощью этих результатов в проекте удалось добиться продвижений в исследовании неявных дифференциальных уравнений. Такими уравнениями описываются некоторые задачи небесной механики, задачи управления сложными техническими системами, включая робототехнические системы и др. Теоретические исследования неявных дифференциальных уравнений встречают серьезные трудности. К таким уравнениям неприменимы теоремы о неподвижной точке. В исследовании таких уравнений можно использовать утверждения о точках совпадения, полученные участниками проекта. В результате получены новые результаты о краевых задачах, задачах управления для неявных дифференциальных уравнений, найдены оценки решения, предложены численные схемы.
– Это лишь одно из научных направлений проекта, – говорит профессор Евгений Жуковский. – Участники нашего коллектива провели очень интересные исследования нейронных сетей, моделирующих высшую мозговую деятельность. Модели представляют собой системы функционально дифференциальных уравнений, к которым также можно применять разрабатываемые нами методы анализа. Результаты этих исследований активно используют в биологических исследованиях в Норвежском университете естественных наук. В проекте также были проведены очень интересные исследования дискретных задач оптимизации. Эти задачи связаны с теорией вероятности, статистикой, логикой. Мы рассмотрели свойства так называемых «случайных графов». Это один из самых молодых разделов математики, его развитие связано с созданием телекоммуникационных сетей и интернета.
По словам Евгения Семеновича, главное в научной работе – это думать о задаче везде: и дома, и на работе, и на прогулках. Для математиков также очень важен научный обмен. Для этого во всех математических коллективах организуются семинары, на которых математики обсуждают полученные результаты. Действует такой семинар и в ТГУ – это Тамбовский городской семинар по функционально-дифференциальным включениям и уравнениям. В работе семинара принимают участие преподаватели, аспиранты и студены, сотрудники других вузов. В 2018 году в Державинском пройдет восьмая международная конференция «Колмогоровские чтения». Традиционно на родине великого математика Андрея Колмогорова, в Тамбове, отечественные и зарубежные ученые обсудят актуальные математические проблемы.
