Интегрируемые системы, квантование и геометрические асимптотики

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 25-11-00210

НазваниеИнтегрируемые системы, квантование и геометрические асимптотики

Руководитель Шафаревич Андрей Игоревич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова» , г Москва

Конкурс №104 - Конкурс 2025 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-113 - Математическая физика

Ключевые слова геометрические асимптотики, интегрируемые системы, квантование, лагранжевы многообразия, коммутативные кольца, некоммутативная геометрия, универсальные обертывающие алгебры

Код ГРНТИ27.35.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект будет посвящен описанию связей между теорией дифференциальных операторов (как аналитическими, так и алгебраическими и геометрическими её аспектами), геометрическими асимптотиками, квазиклассическим, геометрическим и деформационным квантованием, теорией интегрируемых систем и топологией. В рамках проекта предполагается получить принципиально новые результаты в указанных областях. Проект посвящен также актуальным задачам современной алгебраической и некоммутативной геометрии и развитию приложений современных методов изучения особых алгебраических многообразий в том числе в теории интегрируемых систем и математической физике. При помощи достижений и методов современной алгебраической геометрии планируется продолжить исследовать особые многообразия, а также пространства модулей пучков без кручения на таких многообразиях, возникающие в классических задачах алгебры, теории интегрируемых систем и теории уравнений в частных производных. В частности, предполагается продвижение в решении классических проблем явного построения коммутативных семейств дифференциальных или дифференциально-разностных, интегральных операторов и проблемы классификации колец коммутирующих дифференциальных или дифференциально-разностных операторов от нескольких переменных.

Ожидаемые результаты
Мы планируем получить новое доказательство теоремы классификации колец коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов с помощью новой теории нормальных форм, и использующую только старую и новую теории Шура. Мы ожидаем, что элементы этого доказательства можно будет потом перенести в высшие размерности, и это поможет доказать гипотезу о классификации коммутирующих дифференциальных операторов в размерности 2 (Согласно этой гипотезе, такие кольца описываются пре-спектральными данными, у которых ограничение спектрального пучка на дивизор является прямым образом структурного пучка проективной прямой), и, возможно, выше. Также мы планируем получить параметризацию спектральных пучков ранга >1 в терминах коэффициентов нормальных форм (обобщение параметризации для пучков ранга 1 в недавнем препринте Жеглова и J. Guo). Планируется описать геометрические асимптотики для ряда уравнений в частных производных с особенностями (в частности, гиперболических систем с разрывными и скачкообразными коэффициентами, а также задач рассеяния на дельта-образных потенциалах). Планируется выснить, как перестраиваются соответствующие геометрические объекты (лагранжевы многообразия и комплексные векторные расслоения) в точках, соответствующих носителям особенностей. Мы будем изучать вопрос о переносе результатов Г.Шарыгина и Я.Икэды про использование квазипроизводных для построения квантовых алгебр сдвига аргумента с алгебры Ugl(n) на универсальную обёртывающую алгебру супералгебры Ли gl(m|n). Кроме того, планируется изучить вопрос о деформационном квантовании в контексте теории симплициальных многообразий: такой подход потенциально позволит строить деформационное квантование многообразий с симмтериями или отвечать на вопросы о существовании таких квантований. Планируется получить асимптотику уровней энергии при малом эксцентриситете для квантовой частицы в эллипсе с полиномиальным потенциалом Козлова. Мы планируем развить теорию нормальных форм в размерности >1, и получить аналогичное размерности 1 описание пространства модулей спектральных пучков ранга 1 и выше. Для ряда многомасштабных задач (спектральных и задач Коши) планируется построить аналог канонического оператора Маслова, соответсвующего расслоению над лагранжевым многообразием с лагранжевыми слоями. Мы планируем исследвать геометрические и аналитические свойства этого объекта. Будет изучаться вопрос о переносе конструкций оператора квантового сдвига аргумента с gl(n) и gl(m|n) на другие (супер) алгебры Ли. Будем изучать вопрос о геометрических свойствах квантового сдвига аргумента и о возможности построения таких операторов в случае произвольного многообразия, снабжённого "нийенхёйсовым" векторным полем. Планируется получить асимптотику уровней энергии при малом эксцентриситете для квантовой частицы в эллипсе с потенциалом Козлова или Драговича, имеющем вид полинома Лорана. Мы надеемся доказать гипотезу о классификации колец дифференциальных операторов, используя теорию нормальных форм результаты, полученные в первые два года. Планируется описать геометрические асимптотики для ряда задач математической физики, содержащих разные масштабы или особенности (уравнения т.н. акустических черных дыр, уравнения мелкой воды с особенносями дна, уравнения Шредингера и Дирака). Планируется изучить роль квазидетерминантов и других алгебраических конструкций при построении решений некоммутативных дифференциальных уравнений типа полной системы Тоды. Планируется изучить вопрос о деформационном квантовании многообразий с симметриями в контексте квантово-полевого подхода, восходящего к работам Каттанео и Фельдера. Планируется получить асимптотику уровней энергии для квантовой частицы в потенциалах Козлова или Драговича общего вида в некоторых областях ограниченных софокусными квадриками при малом эксцентриситете.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
А.Б. Жегловым была доказана гипотеза Диксмье для первой алгебры Вейля. Для доказательства был получен дополнительный результат о взаимно-однозначном соответствии между решениями уравнения струны, удовлетворяющими некоторому условию, и коммутирующими дифференциальными операторами тех же порядков, удовлетворяющих тому же условию. Этот результат обобщает ранее известное соответствие, найденное А. Шварцем, для случая операторов взаимно простого порядка. А.Б. Жегловым совместно с китайским аспирантом J. Guo было получено, при помощи теории нормальных форм для обыкновенных дифференциальных операторов, описание пространства модулей спектральных пучков ранга r>1 на спектральных кривых. В частности, было показано, что каждый такой пучок можно явно задать матрицей с коэффициентами в кольце полиномов от одной переменной, с точностью до сопряжения этой матрицы на блочно-диагональную матрицу, состоящую из одинаковых блоков-матриц размера r с постоянными коэффициентами, а пространство модулей таких пучков можно явно задать уравнениями в аффинном пространстве. А.Б. Жегловым совместно со студентом П. Пичугиным была получена альтернативная классификация коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов в терминах нормальных форм. Доказательство этой новой теоремы использует только старую и новую теорию Шура, которая была предложена Жегловым А.Б. в его статье 2023 года. Ожидается, что эту классификацию можно будет обобщить в тех же терминах на случай произвольной размерности. https://arxiv.org/abs/2406.14414v3 https://arxiv.org/abs/2410.06959v4 https://arxiv.org/abs/2511.05117 https://arxiv.org/abs/2506.19799v2 Описаны коротковолновые асимптотики решения задачи Коши для одномерного волнового уравнения со скачкообразно меняющейся скоростью. Рассмотрены все случаи соотношения ширины сглаженного скачка и длины волны начального возмущения; для каждой ситуации доказана теорема о разложении решения задачи Коши в асимптотический ряд. Структура асимптотического ряда различна в разных случаях. Если ширина сглаженного скачка много больше длины волны, решение представляет собой многофазовую асимптотику с быстроменяющейся амплитудой; такая асимптотика соответствует векторному расслоению над лагранжевым многообразием (в данном случае двумерным), соответствующим "медленным" переменным. В противоположной ситуации (ширина скачка много меньше длины волны) доказано, что решение мало отличается от решения задачи Коши для уравнения с разрывным коэффициентом. В обеих ситуациях взаимодействие коротковолнового пакета с локализованным скачком описывается вспомогательной "эталонной" задачей рассеяния для обыкновенного дифференциального уравнения. В первом случае это уравнение первого порядка и представляет собой уравнение переноса на слоях векторного расслоения. Во втором случае это уравнение второго порядка, причем его решение (бесконечно дифференцируемое) разлагается в сходящийся асимптотический ряд, коэффициенты которого - функции с разрывной второй производной. В ходе работы по теме квантового метода сдвига инвариантов на супералгебрах Ли были проведены исследования (включая вычисление примеров) в классическом случае (то есть для алгебры Пуассона S(gl(m|n))) и получены следующие результаты: - Во-первых, проверено, что конструкция «сдвига инвариантов» дословно переносится на случай супералгебр Ли - Во-вторых, проверено, что аналоги элементов T_i(ξ), введенных Винбергом и Рыбниковым для характеризации алгебр сдвига инвариантов в «классическом» случае, существуют для супералгебры Ли gl(m|n) и коммутируют со сдвигами. В ходе работы над деформационным квантованием симплициальных симплектических многообразий были получены следующие результаты: - Во-первых, даны определения симплициальной симплектической структуры и симплектической связности на симплициальном симплектическом многообразии. - Во-вторых, конструкция деформационного квантования Федосова перенесена на симплициальный случай. В рамках выполнения проекта получены следующие результаты для квантовой частицы в эллипсе с полиномиальным потенциалов Козлова. А именно, в работе В.В.Козлова «Некоторые интегрируемые обобщения задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде » (1995) были предложено явное выражение (с пятью параметрами) для потенциалов в эллипсе, сохраняющих интегрируемость по Лиувиллю, при этом дополнительный интеграл приобретает дополнительное сладаемое, зависящее только от координат. Полиномиальная часть этого явного выражения является потенциалом Гука относительно центра эллипса. Для такого потенциала нам удалось расщепить соответствующее стационарное уравнение Шредингера и заменой переменных свести расщепленную пару уравнений к уравнению типа Айнса и уравнению на кулоновские волновые функции. Отсюда рядом преобразований и разложениям решений по другим спецфункциям получена асимптотика уровней энергии до второго порядка по малому фокальному расстоянию. Коэффициенты задаются явными формулами в терминах кулоновских волновых функций и их производных.

Публикации

1. Г.И.Шарыгин, А.Эрнандес-Родригес Двойные скобки Пуассона на алгебрах малой размерности ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, т. 330, с. 1–18 (год публикации - 2025)

2. Попеленский Ф.Ю. Произведения Масси и соотношения в когомологиях алгебр Стинрода Математический сборник (год публикации - 2026)

3. Цзюньху Го, А.Б. Жеглов Normal forms for ordinary differential operators, I Известия Российской академии наук. Серия математическая (год публикации - 2026)

4. А.И. Аллилуева, А.И. Шафаревич Short-Wave Asymptotic Solutions of the Wave Equation with Localized Velocity Perturbations Whose Wavelength is not Comparable to the Scale of the Localized Inhomogeneity. Russian Journal of Mathematical Physics, Volume 32, pages 228–238 (год публикации - 2025)
10.1134/S1061920825600916

5. А.И. Аллилуева, А.И. Шафаревич Multi-Scaled Short-Wave Asymptotic Solution of the Cauchy Problem to One-Dimensional Wave Equation with Smoothed Jump of the Velocity. Russian Journal of Mathematical Physics, Volume 32 (год публикации - 2025)

6. И. А. Лавриненко, А. И. Шафаревич Условия квантования для расслоения над окружностью и квазиклассические спектральные серии одномерного оператора Шрёдингера со скачкообразным двухмасштабным потенциалом Труды Математического института имени В. А. Стеклова, том 330 (год публикации - 2025)
10.4213/tm4479