Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Логарифмическим многообразием Фано мы называем многообразие X с приведенным дивизором границы D таким, что дивизор -K_X - D является обильным, многообразие X гладко, а дивизор D имеет простые нормальные пересечения. Такие многообразия естественно обобщают многообразия Фано -- классический объект для изучения в алгебраической геометрии. В отличие от многообразий Фано, логарифмические многообразия Фано не являются ограниченными в каждой размерности, начиная с размерности 2. Тем не менее, их геометрию можно изучать в терминах дивизора границы. В бирациональной геометрии одной из центральных проблем является проблема рациональности. Напомним, что многообразие называется рациональным, если оно бирационально эквивалентно проективному пространству. Естественным является вопрос о том, когда логарифмические многообразия Фано рациональны. В размерностях 1 и 2 ответ на этот вопрос всегда положителен, и показать это достаточно просто. Однако уже в размерности три вопрос становится более интересным, хотя по существу ответ на него можно получить, пользуясь классификацией, выполненной Х. Маедой. Оказывается, что существуют нерациональные трехмерные логарифмические многообразия Фано. Естественно поставить вопрос о достаточном условии для рациональности таких многообразий. Наша гипотеза состоит в том, что рациональность имеет место, когда дивизор границы имеет "достаточно много" компонент. А именно, известно, что число компонент границы не превосходит размерности многообразия. Если оценка достигается, мы говорим о максимальных логарифмических многообразиях Фано. Известно, что такие многообразия являются торическими, и в частности, они рациональны. Более того, они обладают структурой обобщенной башни Ботта, то есть являются итерированным расслоением на проективные пространства. Мы рассматриваем следующий по сложности случай, а именно, предполагаем, что количество компонент дивизора границы на одну меньше, чем размерность многообразия. Такие многообразия мы называем субмаксимальными. Наша гипотеза состояла в том, что такие многообразия являются рациональными. Мы подтвердили эту гипотезу в размерности 3. Для этого мы использовали технику, развитую в статьях К. Фуджиты и С. Казагранде, а также фундаментальный результат К. Биркара, П. Касини, К. Хэкона и Дж. МакКернана о существовании программы минимальных моделей со скейлингом в любой размерности. Мы показываем, что первый шаг такой программы минимальных моделей совпадает с присоединненным морфизмом. Таким образом, тип этого морфизма является инвариантом данного логарифмического многообразия Фано. В итоге специальной программы минимальных моделей мы получаем расслоение Мори. Анализируя возможности для этого расслоения Мори, мы можем восстановить классификацию, полученную Х. Маедой. Более того, в размерности 3 мы определили тип присоединенного морфизма, а также вычислили nef значения для каждого многообразия. Эти данные являются инвариантами логарифмических многообразий Фано и позволяют выяснять, когда такие многообразия не являются изоморфными друг другу. Для трехмерных логарифмических многообразий Фано с приводимой границей мы свели все результаты в одну таблицу (см. таблицу 4 в препринте arXiv 2112.12276), в которой многообразия отсортированы по типу присоединенного морфизма. Также мы изучили вопрос К-стабильности логарифмических многообразий Фано. К-стабильность является алгебраическим свойством многообразий Фано (или многообразий Фано с границей), которое характеризует наличие метрики Кэлера-Эйнштейна на них. К. Фуджита предложил валюативный критерий К-стабильности, позволяющий решать вопрос о К-стабильности данного многообразия Фано (или многообразия Фано с границей) в терминах численных инвариантов дивизоров, определенных над данным многообразием. В теории К-стабильности рассматриваются лог Фано пары с лог-терминальными по Кавамате особенностями. Мы изучили вопрос К-стабильности логарифмических многообразий Фано типа Маеды (log Fano pairs of Maeda type). Определение логарифмических многообразий типа Маеды было дано К. Фуджитой, который изучал К-стабильность таких многообразий в размерности 2. Мы задались схожим вопрос для логарифмических многообразий Фано типа Маеды в размерности три. Мы начали со случая многообразий, чей дивизор границы приводим. Как и К. Фуджита, мы рассматривали задачу о нахождении всех значений коэффициентов границы, для которых лог Фано пара типа Маеды (X, D’) является К-стабильной. Мы полностью определили эти значения в случае, когда дивизор границы является приводимым. Оказалось, что мы также имеем лишь конечное число К-полустибильных (и К-полистабильных) многообразий. Нами получено их явное описание. Для работы с К-стабильностью мы пользовались теорией Аббана-Жуанга. Она состоит в индуктивном подходе для получения оценок на дельта-инвариант, которая сразу влечет оценку на бета-инвариант пары. В работе И. Чельцова, Х. Гарсии и других на основе теории Аббана-Жуанга были получены явные оценки на дельта-инвариант на трехмерных многообразиях Фано в случае, когда центр дивизора является кривой или точкой. Мы обобщили их результат на случай пар. Мы ожидаем, что в случае неприводимой границы К-стабильность встречается более часто. Тем не менее, наша гипотеза состоит в том, что только конечное число логарифмических многообразий Фано типа Маеды в размерности 3 являются К-полустабильными. В будущем мы планируем проверить эту гипотезу, и таким образом полностью решить задачу характеризации К-(полу)стабильных логарифмических многообразий Фано типа Маеды в размерности 3.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Логарифмическим многообразием Фано называется многообразие X с эффективным приведенным дивизором границы D таким, что дивизор - K_X - D является обильным, при этом многообразие X гладко, а дивизор D имеет простые нормальные пересечения. Это определение было дано Х. Маедой, и им же была получена классификация таких многообразий в размерности не выше трех. В нашей работе мы изучали геометрию таких многообразий. А именно, мы сосредоточились на следующих свойствах таких многообразий: рациональность, К-стабильность, а также на их бирегулярных свойствах, в частности, на экстремальных стягиваниях, которые определены на таких многообразиях. На втором году работы проекта мы занимались вопросами К-стабильности. Свойство К-(поли)стабильности интересно тем, что оно дает алгебраическую характеризацию наличия метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано (или многообразиях Фано с границей). Изначально К-стабильность была определена в терминах инварианта Дональдсона-Футаки всех однопараметрических вырождений данного многообразия. Позднее К. Фуджита и Ч. Ли предложили валюативный критерий К-стабильности, позволяющий решать вопрос о К-стабильности данного многообразия Фано (или многообразия Фано с границей) в терминах бета-инвариантов дивизоров, определенных над данным многообразием, то есть дивизоров на всех бирациональных моделях, доминирующих данное многообразие. Нами рассматривались лог Фано пары с лог-терминальными по Кавамате особенностями. Мы изучали К-стабильность логарифмических многообразий Фано типа Маеды (log Fano pairs of Maeda type). Это означает, что мы стартуем с логарифмического многообразия Фано, то есть пары (X, D), где D — целый дивизор, X гладко, дивизор D имеет простые нормальные пересечения, и - K_X - D обилен, а затем уменьшаем коэффициенты D таким образом, чтобы, во-первых, все коэффициенты нового дивизора D' были меньше единицы, а во-вторых, чтобы новая пара (X, D’) по-прежнему была лог Фано парой, то есть чтобы дивизор -K_X - D’ был обилен. Такие объекты являются естественными с точки зрения обобщения задачи о К-стабильности со случая (гладких) многообразий Фано на случай лог Фано пар. Определение логарифмических многообразий типа Маеды было дано К. Фуджитой, который изучал К-стабильность таких пар в размерности 2. Напомним, что существует бесконечная серия попарно неизоморфных многообразий, допускающих структуру логарифмического многообразия Фано в каждой размерности, начиная с двух. К. Фуджита показал, что К-полустабильность имеет место только для двух таких многообразий в размерности два, а именно для проективной плоскости и двумерной квадрики. При этом он явно нашел коэффициенты дивизора границы, для которых имеет место К-полустабильность. На первом году работы проекта мы рассматривали случай трехмерных логарифмических многообразий Фано типа Маеды с приводимой границей (то есть, дивизор границы состоит из нескольких компонент). В этом году мы изучали случай неприводимой границы. Мы показали, что имеется конечное число семейств таких многообразий с условием К-полустабильности. Напомним, что согласно классификации Х.Маеды, имеется бесконечное число семейств таких многообразий в размерности 3, то есть, они не являются ограниченными (в обоих случаях: приводимой и неприводимой границы). В своей работы мы пользовались валюативным критерием К-стабильности Фуджиты-Ли. Из него следует, что для того, чтобы показать, что данное логарифмическое многообразие Фано типа Маеды не является К-полустабильным, достаточно найти один дивизор, бета-инвариант которого является отрицательным. В большинстве не-К-полустабильных случаях, рассмотренных нами, мы явно предъявили такой «дестабилизирущий» дивизор. В случае, когда имеет место К-полустабильность, мы вычислили области коэффициентов границы, при которых данная пара является К-полустабильной. В случае приводимой границы эти области являются выпуклыми многоугольниками. На основе этой работы, а также других примеров, Сh. Zhou была сформулировал гипотеза о том, что области К-полустабильности для логарифмических пар Фано (или некоторых пар Калаби-Яу) всегда являются выпуклыми многогранниками. Для нахождения более современного подхода к классификации Х. Маеды, мы применили теорию дополнений на логарифмических многообразиях Фано. Основная идея здесь состоит в подъеме дополнения с дивизора границы, что позволяет привлечь индуктивные соображения. Построенная в работах В. В. Шокурова теория дополнений нашла многочисленные применения в современной бирациональной геометрии, в том числе в работах К. Биркара, посвященных доказательству ограниченности многообразий Фано. Мы показали, что 1-дополнение может быть поднято с дивизора границы. Более общим образом, наша гипотеза состояла в том, что только конечное число (семейств) логарифмических многообразий Фано типа Маеды в любой фиксированной размерности являются К-полустабильными. Мы подтвердили эту гипотезу в размерности три, используя классификацию. Затем мы доказали эту гипотезу в произвольной размерности, см. работу "Boundedness of log Fano pairs with certain K-stability" (arXiv:2302.06558, совместно с Ch. Zhou). Для доказательства мы использовали фундаментальные теоремы ограниченности К. Биркара, а также технику, развитую в работах Г. Блюма и М. Джонсона. Полученный результат согласуется с представлением о том, что многообразия Фано и их обобщения, обладающие свойством К-стабильности, должны иметь "хорошие" пространства модулей. Мы применили схожие методы к решению вопроса о К-стабильности одного семейства трехмерных многообразий Фано (то есть многообразию лог Фано с нулевой границей). А именно, в работе "K-stability of Fano threefolds of rank 4 and degree 24" (совм. с Г. Белоусовым) мы доказали, что любое гладкое многообразие Фано из семейства 4.1 в терминах классификации В.А.Исковских является К-стабильным. Иными словами, мы работали с многообразиями, задающимися однородным уравнением 4-степени (1,1,1,1) в произведении четырех копий проектной прямой. В своей работе мы пользовались теорией Аббан-Жуанга, а также анализом геометрии данного класса многообразий, в частности, структур расслоений на нем. Отметим, что задача о К-стабильности гладких трехмерных многообразий Фано в последнее время привлекла внимание множества ученых со всего мира.