КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 21-11-00331

НазваниеГеометрические методы в гамильтоновой теории интегрируемых и почти интегрируемых систем

РуководительГриневич Петр Георгиевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г Москва

Период выполнения при поддержке РНФ

2021 г. - 2023 г.

Конкурс№55 - Конкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-113 - Математическая физика

Ключевые словааномальные волны, интегрируемые системы, гамильтоновы возмущения, конечнозонное интегрирование, динамические системы на поверхностях Ферми, гамильтонова геометрия, уравнения ассоциативности, системы гидродинамического типа, алгебро-геометрические методы

Код ГРНТИ27.35.00

СтатусУспешно завершен

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
В настоящее время большое внимание привлекает задача исследования аномальных волн в нелинейных средах с использованием как аналитических, так и численных методов. В случае, когда мы имеем малые возмущения интегрируемых систем, сохраняется возможность использования аналитических методов, при этом существенно, является ли возмущение гамильтоновым и следовательно, консервативным, или нет. В последние годы был достигнут серьезный прогресс в построении аналитической теории аномальных волн в фокусирующем Нелинейном уравнении Шредингера, однако в физических приложения используются также и другие модели. Мы планируем распространение развитой теории как на другие физически важные интегрируемые модели, включая системы Манакова, систему Абловица-Ладика, уравнение Дэви-Стюардсона, так и на неинтегрируемые возмущения, в особенности гамильтоновы. Геометрия и топология поверхности Ферми является одной из ключевых характеристик электронного спектра и играет важнейшую роль при изучении огромного множества явлений в проводниках. Одной из важнейших задач при описании транспортных и термодинамических явлений в присутствии внешних полей является описание динамики электронов на поверхности Ферми в присутствии внешнего магнитного поля. Как можно показать, такая динамика может быть действительно крайне нетривиальной на поверхностях Ферми достаточной сложности, а геометрия траекторий соответствующей динамической системы может влиять самым существенным образом на наблюдаемые явления. При этом, хотя изучение соответствующих явлений представляет собой классическую область математики и физики, наиболее серьезные топологические результаты, относящиеся к описанию структуры динамических систем такого типа, были получены сравнительно недавно в топологической школе С.П. Новикова (С.П. Новиков, А.В. Зорич, С.П. Царев, И.А. Дынников и др.). В частности, в настоящее время получена полная классификация всех типов незамкнутых траекторий для описанных систем на поверхностях Ферми сколь угодно сложной формы, среди которых наиболее важную роль играет тип, соответствующий ``топологически интегрируемым'' случаям. Полная структура рассматриваемой системы (на диаграмме направлений внешнего поля или в более общем пространстве параметров) может быть при этом, однако, крайне нетривиальной и содержать крайне интересные множества, на которых происходит неограниченное усложнение топологически интегрируемых ситуаций, дающее в пределе хаотическое поведение траекторий. Как было показано в недавних работах соискателей, изучение множества изменений структуры описанных систем может являться, в частности, удобным инструментом восстановления дисперсионных соотношений в проводящих кристаллах. Надо сказать, однако, что дальнейшее изучение связи таких систем с аналитическим описанием дисперсионного соотношения несомненно должно привести к выявлению целого ряда новых закономерностей, поскольку возникающие структуры содержат огромное множество крайне интересных особенностей. Рассматриваемая задача является при этом крайне актуальной как с точки зрения развития новых математических методов, так и с прикладной точки зрения, в силу огромного разнообразия получаемых в настоящее время материалов, обладающих проводящими свойствами. Уравнения ассоциативности двумерных топологических квантовых теорий поля (уравнения Виттена-Дейкграфа-Верлинде-Верлинде или уравнения ВДВВ) являются областью активных современных исследований. Эти уравнения возникли в начале 90-х годов в работах по двумерной квантовой гравитации и двумерным топологическим квантовым теориям поля и в настоящее время играют фундаментальную роль не только в современной математической и теоретической физике, но и в современной математике, в частности, в теории фробениусовых многообразий, теории инвариантов Громова-Виттена, теории квантовых когомологий, в классических задачах исчислительной геометрии, теории подмногообразий, теории интегрируемых систем гидродинамического типа, теории особенностей, аналитической теории дифференциальных уравнений и в других областях математики. Теория уравнений ВДВВ активно разрабатывается начиная с замечательных работ Б.А.Дубровина начала 90-х годов, получено много важных результатов. Подход к уравнениям ассоциативности как к системам гидродинамического типа был предложен О.И.Моховым в 1994 году. В рамках проекта планируется изучить задачу о представлении уравнений ассоциативности в виде систем гидродинамического типа. В случае трех примарных полей уравнения ассоциативности представляются в виде интегрируемой трехкомпонентной недиагонализируемой системы гидродинамического типа с очень интересной и нетривиальной гамильтоновой геометрией, которая полностью пока не изучена. В случае четырех примарных полей уравнения ассоциативности представляются в виде двух коммутирующих интегрируемых шестикомпонентных недиагонализируемых систем гидродинамического типа, гамильтонова геометрия которых также очень интересна и изучена не полностью. В случае большего числа примарных полей такие представления не построены вообще, имеются только некоторые гипотезы о том, что такие представления должны быть и как они должны быть устроены. Мы планируем развить теорию представлений уравнений ассоциативности в виде коммутирующих одномерных интегрируемых систем гидродинамического типа для большего числа примарных полей и исследовать геометрию этих нелинейных интегрируемых систем. Это позволит развивать гамильтонову теорию уравнений ассоциативности для числа примарных полей больше четырех. Мы планируем также получить новые результаты о гамильтоновых и бигамильтоновых структурах уравнений ассоциативности, их дифференциальной геометрии, изучить новые гамильтоновы редукции уравнений ассоциативности. Кроме того, мы планируем развить алгебро-геометрические методы построения дифференциально-геометрических гамильтоновых структур и гамильтоновых уравнений гидродинамического типа.

Ожидаемые результаты
Мы планируем разаработать аналитическую теорию специальных решений интегрируемых и почти интегрируемых систем, моделирующих аномальные волны в природе с использованием конечнозонного подхода для почти вырожденных спектральных кривых. Благодаря тому, что спектральные кривые, порождающие указанные решения, близки к рациональным, конечные формулы удается существенно упростить. Аномальные волны активно изучаются поскольку их исследование интересно как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения приложений. Так, например, аномальные волны на поверхности океана, известные как волны--убийцы могут представлять серьезную опасность для кораблей. Этот феномен не удается объяснить в рамках линейной теории. Аномальные волны в оптических волокнах означают концентрацию энергии в малой области, что может приводить к повреждению линий связи. Наши предыдущие работы по аналитической теории аномальных волн в фокусирующем Нелинейном уравнении Шредингера полностью соответствовали мировому уровню в указанной области и были использованы при проведении экспериментов. Мы планируем продолжить работу на этом уровне. Ожидается установление и описание закономерностей, связывающих аналитические параметры дисперсионных соотношений со структурой динамических систем на поверхностях постоянной энергии для широкого класса важных аналитических семейств дисперсионных соотношений. Полученные результаты должны несомненно представлять большую важность для исследования электронных спектров многих новых материалов. Исследования, проводимые соискателями, используют самые современные подходы и методы и соответствуют передовому мировому уровню научных исследований. В рамках проекта будут исследованы уравнения ассоциативности двумерных топологических квантовых теорий поля (уравнения Виттена-Дейкграфа-Верлинде-Верлинде) в случае произвольного числа примарных полей и получены результаты о возможности их представления в виде интегрируемых систем гидродинамического типа. В частности, ожидается, что будут получены результаты о представлении в виде систем гидродинамического типа уравнений ассоциативности в случае пяти примарных полей для важнейшего случая антидиагональной метрики и их геометрии. Ожидается, что будет развита гамильтонова и бигамильтонова геометрия уравнений ассоциативности. Будут развиты алгебро-геометрические методы построения дифференциально-геометрических гамильтоновых структур и гамильтоновых уравнений.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Получено полное решение задачи об устойчивости линеризации фокусирующего Нелинейного уравнения Шредингера вблизи n-бризерных решений Ахмедиева. Предложен регулярный метод нахождения мод, эскпоненциально растущих по времени. Отметим, что в известной литературе, посвященной данной задаче, эти моды были упущены, что привело к ошибочному выводу о линейной устойчивости бризеров, упоминаемому в достаточно большом числе публикаций. В двоякопериодической по пространственным переменным задаче о генерации аномальных волн в уравнении Дэви-Стюардсона 2 матрица Римана, преобразование Абеля дивизора и векторы периодов мероморфных дифференциалов были явно вычислены в главном порядке через данные Коши. На основании исследования особенностей поведения магнитопроводимости, классических и квантовых осцилляций, а также ряда других эффектов в сильных магнитных полях, в момент перестройки топологической структуры системы, описывающей квазиклассическую динамику электронов на сложных поверхностях Ферми, предложены методы экспериментального определения топологических типов таких перестроек, а также измерения целого ряда параметров дисперсионных соотношений в проводниках. Алгебро-геометрическими методами построен класс полугамильтоновых диагональных систем гидродинамического типа. По алгебро-геометрическим данным (по алгебраической кривой и дивизорам на ней) построены аффиноры полугамильтоновых диагональных систем гидродинамического типа, их гидродинамические интегралы и симметрии по явным формулам. Выяснено, какие алгебро-геометрические данные выделяют в этом классе гамильтоновы диагональные системы гидродинамического типа с дифференциально-геометрическими гамильтоновыми структурами, задаваемыми плоскими метриками (локальными скобками Дубровина-Новикова) и метриками постоянной кривизны (нелокальными скобками Мохова-Ферапонтова).

Публикации

1. Гриневич П.Г., Сантини П.М. The linear and nonlinear instability of the Akhmediev breather Nonlinearity, v.34, No. 12, pp. 8331-8358 (год публикации - 2021) https://doi.org/10.1088/1361-6544/ac3143

2. Мальцев А.Я. Особенности осцилляционных явлений при перестройках топологической структуры электронных траекторий на сложных поверхностях Ферми Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики, том 160, выпуск 5, стр. 699-713 (год публикации - 2021) https://doi.org/10.31857/S0044451021110092

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Были получены явные формулы для главного порядка решения задачи Коши для аномальных волн для фокусирующего уравнения Дэви-Стюардсона 2 с двоякопериодическими граничными условиями. При построении периодических решений солитонных уравнений основным методом является метод конечнозонного интегрирования, однако параметры решений оказываются при этом трансцендентными выражениями от спектральной кривой. К счастью, для моделирования генерации аномальных волн (волн-убийц) используются специальные решения, данные Коши которых -- малые возмущения неустойчивого фона, и за счет наличия малого параметра конечнозонные решения в главном порядке приближаются элементарными функциями (аппроксимации различаются для различных временных интервалов), при этом задача остается существенно нелинейной. Ранее указанная программа была реализована для Нелинейного уравнения Шредингера в размерности 1+1, а сейчас ее впервые удалось осуществить для интегрируемой системы с двумя пространственными переменными. Исследована картина квантовых электронных уровней, возникающая в ситуации развитого магнитного пробоя вблизи перестроек электронной динамики на поверхности Ферми в присутствии сильных магнитных полей. При этом рассмотрены случаи, когда возникающий квантовый спектр на перестраивающихся замкнутых траекториях отвечает резонансному вкладу в квантовые осцилляционные явления. Как показано в исследовании, эта ситуация возникает лишь при некоторых из возможных топологических перестроек электронной динамики на поверхности Ферми. Вместе с тем, появление таких перестроек на реальных поверхностях Ферми является более вероятным по сравнению с остальными в силу особенностей их геометрии. Исследовано также возможное влияние появления фазы Берри и других эффектов, возникающих при нарушении симметрии по отношению к обращению времени или отсутствии центра инверсии в кристалле, на описываемые явления. Была развита геометрия диагональной кривизны трехмерных метрик, исследована геометрия диагональной кривизны в конформных классах диагональных трехмерных метрик. Получены системы нелинейных уравнений с частными производными в конформном классе произвольной диагональной трехмерной метрики, эквивалентные условиям диагональной кривизны конформной метрики, найдены и исследованы условия совместности этих нелинейных систем, построены явные примеры. https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=10077&option_lang=rus https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=37202&option_lang=rus http://www.jetp.ras.ru/cgi-bin/r/index/r/162/6/p975?a=list

Публикации

1. Глухов Е.В., Мохов О.И. Алгебро-геометрический подход к построению полугамильтоновых систем гидродинамического типа Известия РАН. Серия математическая, Том 87, выпуск 6, 35-48 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.4213/im9303

2. Гриневич П.Г., Сантини П.М. Конечнозонный подход в периодической задаче Коши для (2+1)-мерных аномальных волн фокусирующего уравнения Дэви–Стюартсона 2 Успехи математических наук, т. 77, вып. 6(468), стр. 77-108 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.4213/rm10077

3. Мальцев А.Я. О резонансных вкладах в осцилляционные явления в условиях магнитного пробоя при перестройках электронной динамики на поверхности Ферми Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики, Том 162, Вып. 6, стр. 975-984 (год публикации - 2022) https://doi.org/10.31857/S0044451022120173

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
В 2023 году с помощью алгебро-геометрического метода Глухова-Мохова, предложенного и развитого ранее в рамках данного проекта, построены конкретные явные примеры трехкомпонентных полугамильтоновых систем гидродинамического типа по алгебро-геометрическим данным, ассоциированным с некоторой заданной алгебраической кривой, для различных случаев коразмерностей связанных с ними ортогональных сетей, различных случаев геометрии соответствующих метрик диагональной кривизны и различных случаев гамильтоновых структур у таких систем. Во-первых, построена трехкомпонентная полугамильтонова система гидродинамического типа, которой отвечает плоская диагональная метрика, то есть эта полугамильтонова система гидродинамического типа является гамильтоновой и ее гамильтонова структура задается гамильтоновым оператором Дубровина-Новикова. Этот случай отвечает ортогональной криволинейной системе координат в трехмерном евклидовом пространстве (то есть, другими словами, трехмерной ортогональной сети нулевой коразмерности в трехмерном евклидовом пространстве) в конструкции Глухова-Мохова. Во-вторых, построена трехкомпонентная полугамильтонова система гидродинамического типа, которой отвечает диагональная метрика постоянной кривизны, то есть эта полугамильтонова система гидродинамического типа является гамильтоновой и ее гамильтонова структура задается нелокальным гамильтоновым оператором Мохова-Ферапонтова. Этот случай отвечает трехмерной ортогональной сети коразмерности 1 в трехмерном евклидовом пространстве в конструкции Глухова-Мохова. В-третьих, построена трехкомпонентная полугамильтонова система гидродинамического типа, которой отвечает диагональная метрика трехмерного подмногообразия в пятимерном евклидовом пространстве с плоской нормальной связностью и голономной сетью линий кривизны в координатах линий кривизны, то есть эта полугамильтонова система гидродинамического типа является гамильтоновой и ее гамильтонова структура задается нелокальным гамильтоновым оператором Ферапонтова. Этот случай отвечает трехмерной ортогональной сети коразмерности 2 в пятимерном евклидовом пространстве в конструкции Глухова-Мохова. Были исследованы изменения структуры динамической системы, задающей электронную динамику на поверхности Ферми, возникающие при сильном внешнем воздействии на кристалл, в частности, приводящем к изменению топологии поверхности Ферми. Построена общая классификация всех типов изменения угловых диаграмм магнетопроводимости (а также магнитотеплопроводности либо других магнитотраспортных явлений) при топологических переходах (Лифшица) в металлах со сколь угодно сложными поверхностями Ферми. При этом был описан ряд новых режимов поведения магнитотраспортных явлений в сильных магнитных полях, не рассматривавшихся ранее. Указаны методы восстановления структуры топологического перехода и его параметров при наблюдении соответствующих изменений на угловых диаграммах. Указаны типы таких изменений, наиболее интересные с точки зрения наблюдения наиболее нетривиальных режимов поведения транспортных явлений в сильных магнитных полях. Для интегрируемого фокусирующего уравнения Дэви-Стюардсона 2, которое можно рассматривать как интергируемую двумеризацию фокусирующего Нелинейного уравнения Шредингера, проведен вывод формул, описывающих повторяемость аномальных волн для случая малого числа неустойчивых мод, с помощью метода сшивок асимптотик бризеров Ахмедиевского типа на больших временах. Проведено сопоставление выведенных ранее асимптотических формул для решений с результатами численного счета, подтверждающее, что не только в одномерном, но и в двумерном случае (по крайней мере для достаточно малого числа неустойчивых мод) имеется не только качественное, но и хорошее количественное согласие приближенных и точных решений, включая решения, у которых наблюдается развитие особенностей из гладких начальных данных. Ресурсы в сети Интернет, посвященные результатам, полученным в рамках проекта: https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=38636 https://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2023/data/28484/155884_uid807268_report.pdf https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=39530 https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=39533 https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=39536 https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=41121 https://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=40996 https://www.mathnet.ru/rus/present38626 https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=eng&presentid=39674 https://arxiv.org/abs/2308.12422 https://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=41108

Публикации

1. Коппини Ф., Гриневич П.Г., Сантини П.М. The periodic N breather anomalous wave solution of the Davey-Stewartson equations; ﬁrst appearance, recurrence, and blow up properties. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, - (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1088/1751-8121/ad107b

2. Мальцев А.Я. Переходы Лифшица и угловые диаграммы проводимости в металлах со сложными поверхностями Ферми Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики, Том 164, Вып. 5, стр. 817-838 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.31857/S0044451023110135

3. Михальчук М.М. Об условии диагональной кривизны в конформном классе метрик Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2023» / Отв. ред. И.А. Алешковский, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов, Е.И. Зимакова. [Электронный ресурс] – М.: МАКС Пресс, 2023., Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2023» / Отв. ред. И.А. Алешковский, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов, Е.И. Зимакова. [Электронный ресурс] – М.: МАКС Пресс, 2023. (год публикации - 2023)

4. Мохов О.И. Algebraic geometry approach to constructing metrics of diagonal curvature, orthogonal nets and semi-Hamiltonian systems of hydrodynamic type Constructive Methods of Riemann Surfaces Theory and Applications, FT «Sirius», 2023, стр. 12 (год публикации - 2023)

Возможность практического использования результатов
В настоящее время основным средством передачи больших объемов информации явялются оптоволоконные линии связи. При создании таких систем важно учитывать нелинейные эффекты, при этом аномальные волны могут становится источниками помех. Мы рассчитываем, что наши исследования могут быть полезны для разработчиков оптических линий связи.