Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Была введена группа отображений Пуанкаре на гладком многообразии М, которая порождена отображениями первого возвращения всех векторных полей из некоторой подалгебры на М × S. Изучены свойства этой группы. Доказано, что любой диффеоморфизм F, изотопный тождественному отображению в группе диффеоморфизмов, сохраняющих форму i_vω, где ω – k-форма на М×S, а векторное поле v сохраняет форму ω, является отображением Пуанкаре для некоторого векторного поля из этой же подалгебры Ли. Для полулинейной системы уравнений в частных производных первого порядка с быстро осциллирующими по времени данными в случае задачи Коши обоснован метод усреднения равномерно в рассматриваемой пространственно-временной полосе. Близкий результат получен для скалярного квазилинейного гиперболического уравнения первого порядка. Для уравнения переноса и одномерного волнового уравнения с неизвестными быстро осциллирующими по времени правыми частями в случае задачи Коши поставлены и решены неклассические обратные задачи о восстановлении правых частей. Аналогичные результаты получены для волнового уравнения – одномерного в прямоугольнике и двумерного в прямом круговом цилиндре – с однородными начально-краевыми условиями. Исследованы решения в виде бегущей волны обобщенного (в смысле нелинейности) уравнения Кортевега - де Вриза - Бюргерса, для неоднородного и зависящего от времени распределения коэффициента диссипации, которое имеет вид сглаженной ступеньки в каждый момент времени. Получены не обладающие трансляционной инвариантностью уравнения для бегущей волны, которая соответствует структуре особого или классического разрыва. В двумерной постановке исследовано развитие линейных волн от мгновенного точечного воздействия на поверхность конвективно неустойчивого течения в виде однородного слоя жидкости, стекающего по наклонной плоскости. Область, занятая растущим возмущением, представляет собой сегмент круга на плоскости U = x/t, V = y/t (ось x направлена вдоль вектора невозмущённой скорости, ось y перпендикулярна к ней, t — время). Получена двумерная картина поведения растущих волн внутри указанной области. Исследована линейная устойчивость пограничного слоя Блазиуса над податливым покрытием конечной толщины для различных значений параметров, определяющих вязкоупругие свойства покрытия.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Разработаны методы вычисления мю-нормы для ограниченных операторов на пространстве квадратично интегрируемых функций на торе с лебеговой мерой. Введено понятие энтропии унитарного оператора, основанное на понятии мю-нормы. Рассмотрена задача Коши для уравнения переноса с одной пространственной переменной, правая часть которого является произведением двух функций, одна из которых f зависит от пространственной переменной x, а вторая r -- от временной t и быстрой временной (произведение высокой частоты и времени) переменных, причем функция r- периодическая по второй переменной. Правая часть не известна. Поставлены и решены две задачи о её восстановлении. В первой - неизвестна функция f, а во второй - неизвестны обе функции, но известно среднее значение функции r по быстрому времени. Дополнительные условия для восстановления неизвестных ставятся не на решение (как в классической теории обратных задач), а на некоторые коэффициенты (мы называем их «базисными») его соответствующих частичных асимптотик - эти коэффициенты задаются в некоторых точках (x,t). Рассмотрена одномерная задача Коши для волнового уравнения с источником, который является произведением двух функций, одна из которых f зависит от пространственной переменной x, а вторая r -- от временной t и быстрой временной переменных. Поставлены и решены асимптотические задачи об определении правой части в двух случаях: 1) r известна, а f неизвестна; 2) в паре f,r известно лишь среднее функции r по второй переменной на периоде. Рассмотрена задача Коши для одномерного волнового уравнения с младшим членом, младший коэффициент и правая часть которого имеют ту же, структуру, что и упоминавшийся в предыдущем абзаце источник, причём амплитуда младшего коэффициента мала - обратно пропорциональна высокой частоте осцилляций. Зависящие от времени быстро осциллирующие сомножители в младшем коэффициенте и источнике неизвестны. Исследован вопрос об их восстановлении по заданной в некоторой точке пространства четырёхчленной асимптотике решения. Рассмотрена задача Коши с однородным начальным условием для многомерной линейной гиперболической системы дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами и быстро осциллирующей по времени правой частью. Каждая компонента последней является произведением двух функций, одна из которых зависит только от пространственной переменной, а вторая - только от временной и быстрой временной переменных. Функции-сомножители, зависящие от пространственной переменной, известны, а зависящие от времени быстро осциллирующие сомножители неизвестны. Поставлена и решена задача о восстановлении последних по дополнительным сведениям о частичной асимптотике решения задачи Коши с известной правой частью. Эти дополнительные сведения состоят в задании значений нескольких первых коэффициентов асимптотики, вычисленных в определенной точке пространства. Исследована глобальная устойчивость решений в виде бегущей волны для обобщенного уравнения КдВБ с переменным коэффициентом вязкости. Рассмотрен случай, когда изменение параметра диссипации происходит монотонно в конечной по ширине пространственной области. Определены устойчивые решения и асимптотики неустойчивых решений. Найден новый класс нестационарных решений, представляющий спонтанно излучающие волны. Исследована устойчивость семейства автомодельных профилей Фолкнера-Скэн над податливым покрытием конечной толщины и влияние податливости покрытия на ламинарно-турбулентный переход в таких течениях.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Проанализированы различные конструкции энтропии унитарного оператора (квантовой энтропии). Даны первые примеры вычисления квантовой энтропии. (Д.В. Трещев) В многомерной пространственно-временной полосе рассмотрен некоторый класс квазилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений первого порядка с быстро осциллирующими по времени данными, которые не зависят явно от пространственных переменных. Для них в случае задачи Коши обоснован метод усреднения Н.М. Крылова-Н.Н. Боголюбова, а также обоснован базирующийся на этом методе и методе двухмасштабных разложений алгоритм построения полных асимптотик решений. Установлены аналоги этих результатов для некоторых начально-краевых задач с однородными краевыми условиями и для обобщенного уравнения Хопфа (традиционный для уравнения Хопфа сомножитель u при производной по пространству заменен на зависящую от u быстро осциллирующую по времени функцию). (В.Б. Левенштам, Э.В. Кораблина) В многомерной пространственно-временной полосе рассмотрена задача Коши с однородным начальным условием для линейных гиперболических систем дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами и быстро осциллирующей по времени правой частью. Каждая компонента последней является произведением двух функций, одна из которых зависит только от пространственной переменной, а вторая -- только от временной и быстрой временной переменных. Поставлены и решены две задачи о восстановлении неизвестных сомножителей правой части по определенной информации о двух первых коэффициентах асимптотики решения. (П.В.Бабич) Для обобщенного уравнения КдВБ с функцией потока, имеющей две точки перегиба, при немонотонном изменении коэффициента диссипации построен пример, когда три различные монотонные структуры неклассических (особых) разрывов распространяются с одинаковой скоростью. Линейная устойчивость этих структур исследована с применением метода функции Эванса. Показано, что некоторые из этих монотонных разрывов являются линейно неустойчивыми. Исследована эволюция таких монотонных неустойчивых структур особых разрывов. Получено асимптотическое приближение для функции Эванса при больших значениях модуля показателя экспоненты, соответствующей растущему возмущению, для случая, когда коэффициент диссипации зависит от координаты и времени. Описан общий подход к построению асимптотики функции Эванса. (В.А. Шаргатов, А.П. Чугайнова, Г.В. Коломийцев) Изучалось поведение возмущений на поверхности слоя вязкой жидкости, текущего по наклонной поверхности под действием силы тяжести. Предполагалось, что выполнены условия неустойчивости течения. Неустойчивость такого течения имеет конвективный характер, то есть возмущения растут и сносятся потоком, так что в фиксированной точке через какое-то время восстанавливается невозмущенное течение. (А.Г. Куликовский) Реализован программный комплекс позволяющий находить немодальные возмущения течений в различных геометриях, комплекс верифицирован на основе имеющихся в литературе результатов. (Д.А. Ашуров)