Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Скажем, что многообразие M^n обладает частично оснащенной (с дефектом 1) U-структурой, если существуют одномерное комплексное векторное расслоение ξ → M и изоморфизм (T M )⊕ξ⊕(2N −n−2) → (2N), где T M – касательное расслоение, а (k) – тривиальное вещественное расслоение. Вычислен образ канонического гомоморфизма группы частично (с дефектом 1) оснащённых комплексных бордизмов в группу комплексных бордизмов. Описаны образующие этого образа. В качестве следствия получено решение задачи, поставленной 50 лет назад, о геометрических представителях коэффициентов универсального характера Черна. Результаты опубликованы в работе http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=9955&option_lang=rus. В работе Айзенберга-Бухштабера было введено понятие многообразий-двойников в многообразии полных флагов. За отчётный период было проведено подробное исследование структуры этих многообразий. Конструкция двойников даёт примеры пар многообразий с похожими свойствами: на двойниках действует компактный тор, и многие их инварианты совпадают (кольца эквивариантных когомологий изоморфны, пространства орбит гомеоморфны, зачастую совпадают и числа Бетти). Тем не менее, ранее был приведен конкретный пример в размерности 4, когда двойники не диффеоморфны. Основными общими примерами двойников являются пары: полупростое регулярное многообразие Хессенберга и многообразие изоспектральных ступенчатых эрмитовых матриц. За отчётный период доказано, что, за исключением тривиального случая, двойники из этого класса не диффеоморфны. Локальная теория правильных систем исследует множества Делоне с попарно конгруэнтными кластерами некоторого радиуса. Прогресс в этой теории подсказал новое направление в исследовании множеств Делоне. Было показано, что даже для произвольного множества Делоне можно получать результаты, имеющие важные приложения в обсуждаемой теории. В рамках нового направления сформулированы гипотезы и получены новые результаты. Доказано, что в произвольном множестве Делоне на плоскости подмножество точек, в которых локальная группа кристаллографическая, является подмножеством Делоне. Этот результат (подготовлена статья) и сформулированная гипотеза о его трёхмерном аналоге максимально обобщают знаменитое утверждение об отсутствии глобальных осей 5-го порядка в двух- и трехмерных решетках. Доказано, что в локально изометричных множествах в трехмерном пространстве отсутствуют локальные оси 5-го порядка, в том числе отсутствуют локальные группы D_5. Этот результат также является значительным и важным обобщением классической теоремы об осях 5-го порядка в трехмерных решетках. Готовится подробная статья с технически очень трудным доказательством этой теоремы. Доказана оценка 6R для радиуса регулярности множеств Делоне в гиперболической плоскости. Широко известная группа Торелли - это подгруппа группы классов отображений ориентированной поверхности рода g (сферы с g ручками), состоящая из всех классов отображений, действующих тривиально на гомологиях поверхности. Для группы Торелли рода 3 было проведено детальное исследование спектральной последовательности - алгебраической структуры, происходящей из действия группы Торелли на некотором специальном клеточном комплексе - комплексе циклов, построенном Бествиной, Буксом и Маргалитом в 2007 году. Получен ряд результатов об этой спектральной последовательности, которые являются существенным продвижением в направлении гипотезы о том, что группа Торелли рода 3 не может быть задана конечным числом порождающих и определяющих соотношений. Построена в явном виде серия алгебр Ли, действующих на функциях тотального пространства универсального расслоения якобианов гиперэллиптических кривых рода g. Образующие этих алгебр соответствуют многомерным операторам Шрёдингера в магнитных полях с квадратичными потенциалами. Эти операторы задают систему из 2g уравнений, определяющую сигма-функцию универсальной гиперэллиптической кривой рода g. Для любого рода g получен явный вид для операторов Шрёдингера градуировки 0, 2 и 4, и рекуррентные формулы, выражающие остальные операторы Шрёдингера как элементы полиномиальной алгебры Ли при помощи скобок Ли операторов градуировки 0, 2 и 4. Результат опубликован в работе http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=faa&paperid=3837&option_lang=rus Гипотеза геометризации Тёрстона (доказанная Перельманом) утверждает, что каждое замкнутое ориентируемое трёхмерное многообразие можно канонически разрезать на части так, что каждая часть будет иметь геометрическую структуру одного из 8 типов. В статье Дэвиса-Янушкевича 1991 года было введено понятие малого накрытия над простым многогранником. Это гладкое многообразие, склеенное из копий многогранника. В то же время в серии работ А.Ю.Веснина и А.Д. Медных (1986-2017) была предложена конструкция многообразий, получающихся из трёхмерных прямоугольных многогранников в геометриях H^3, H^2xR, R^3, S^3 и S^2xR (три другие геометрии были реализованы при помощи орбифолдов). Для компактного многогранника многообразие совпадает с малым накрытием. За отчётный период найдено в явном виде каноническое разложение по Тёрстону любого малого накрытия. Простой трёхмерный флаговый многогранник, отличный от куба (имеющего евклидову геометрию) можно канонически разрезать вдоль 4-поясов так, что каждая часть гомеоморфна некомпактному прямоугольному многограннику конечного объёма с геометрией H^2xR или H^3. Показано, что для ориентируемого малого накрытия это разложение отвечает известному JSJ-разложению неприводимого многообразия вдоль несжимаемых торов, а также его каноническому минимальному разложению на геометрические части конечного объёма вдоль несжимаемых торов и бутылок Клейна. Части имеют геометрии конечного объёма H^2xR или H^3. Результат опубликован в работе https://arxiv.org/abs/2011.11628 Построена структура абелевой 2^(m-1)-значной группы Ли на RP^m для всех нечетных m. Доказано, что на произведении k сфер произвольных размерностей, k>=3, не существует никакого действия (k-2) коммутирующих инволюций, такого что факторпространство является рациональной гомологической сферой. Оценка (k-2) является не улучшаемой, что вытекает из существования примеров, построенных Д.В.Гугниным в 2019 году. Построено 2^(m-1)-листное топологическое разветвленное накрытие CP^m над S^(2m), m>=3, являющееся обобщением классической теоремы Кюйпера-Масси, утверждающей гомеоморфность CP^2/conj и S^4. При этом для всех m>=3 эта конструкция дала степень разветвленного накрытия CP^m над 2m-сферой меньшую, чем известная до этого нижняя оценка (2m)!. Результаты доложены на международной конференции https://cs.hse.ru/mirror/pubs/share/418556206.pdf Алгебры и супералгебры Ли играют важную роль в аппарате современной теоретической и математической физики. Некоторые их них, такие как алгебра Вирасоро, играют особую, выделенную роль. Такую же особую роль играют и ее супераналоги, их два, алгебры Рамона и Неве-Шварца. Поэтому каждый новый результат об их свойствах и применениях всегда становится в центре внимания специалистов. За отчётный период удалось описать важные структурные свойства так называемых положительных компонент этих алгебр – максимальных нильпотентных подалгебр. Показано, что с точки зрения задания образующими и соотношениями, положительные части алгебр Рамона и Неве-Шварца имеют совершенно разную природу, что не противоречит из связи и алгеброй Вирасоро. Результаты доложены на международной конференции: https://lomonosov-msu.ru/file/event/6054/eid6054_attach_9bc6d41fe4caa424589bc7d6d5529e53fbcc87a7.pdf Описана алгебра базисных когомологий Дольбо канонического слоения на классе некэлеровых комплексных многообразий с торической симметрией, в частности на комплексных момент-угол-многообразиях. Комплексное момент-угол-многообразие с каноническим голоморфным слоением можно рассматривать как модель "нерационального" торического многообразия (в рациональном случае голоморфное слоение превращается в расслоение с базой - торическое многообразие и слоем комплексный тор). Вычисление базисных когомологий Дольбо канонического слоения является важным шагом в построении нерационального аналога торической геометрии.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
В известной работе И.Макдональда 1962 года было вычислено целочисленное кольцо когомологий и классы Черна касательного расслоения n-х симметрических степеней W^n_g = Sym^n(V_g) компактных римановых поверхностей V_g рода g. Оказалось, что это кольцо, несмотря на отсутствие кручения, имеет достаточно сложное описание: у него 2g одномерных и одна двумерная образующие и много нетривиальных соотношений. Формулы для классов Черна касательного расслоения также весьма сложны. В рамках проекта были найдены явные формулы для s-чисел Милнора касательного расслоения многообразий W^n_g. Известно, что класс комплексных кобордизмов замкнутого комплексного многообразия однозначно определяется его s-числами Милнора. При этом любой элемент кольца комплексных кобордизмов является полиномом с рациональными коэффициентами от классов кобордизмов комплексных проективных пространств. В рамках проекта предложена и проверена на большом числе примеров явная формула для класса кобордизмов [W^n_g] в виде полинома с целочисленными коэффициентами от [CP^1], [CP^2], [CP^3], .... Паре абстрактных 3-мерных кристаллических решеток сопоставляется некоторое топологическое пространство: пространство разориентаций. Оно кодирует всевозможные способы взаимного расположения этой пары решеток, и естественно возникает в кристаллографии и науке о материалах при описании физических свойств поликристаллических материалов. Известно, что пространство разориентаций является трехмерным орбифолдом: с топологической точки зрения это просто замкнутое трехмерное многообразие, но в нем есть выделенный трехвалентный граф, так называемый граф орбифолдных особенностей. На предыдущем этапе был описан топологический тип пространств разориентаций для всех возможных пар точечных кристаллических групп. Целью исследований на данном этапе было описание графов орбифолдных особенностей соответствующих пространств разориентаций. Предложен вычислительный подход, основанный на теории инвариантов представлений конечных групп. Скрипт на языке Python, разработанный на основе этого подхода, показал правильный результат для пространства разориентаций пары решеток с точечной группой симметрий D_2 (группа симметрий спичечного коробка). В этом конкретном случае пространство разориентаций было определено и изучено в рамках торической топологии. Доказано, что граф его особенностей - это граф K_{3,3} ("3-дома-3-колодца"), возникающий в критерии Куратовского планарности графов. Непланарность графа K_{3,3} показывает, что многообразие полных флагов в R^3 не является малым накрытием над простым многогранником. В произвольном множестве Делоне локальные группы, то есть группы 2R-кластеров, могут быть сколь угодно сложными. Однако, как следует из полученных нами результатов, в любом множестве Делоне X в R^3 подмножество всех точек, в которых порядок локальных осей не превышает 6, является множеством Делоне с радиусом покрытия R'<3R. Эта теорема значительно улучшает прежнюю оценку для R' в терминах R. Она является важным шагом к доказательству гипотезы о том, что кристаллическое ядро произвольного множества Делоне, то есть подмножество всех точек, локальные группы которых содержат вращения лишь кристаллографических порядков 2, 3, 4 или 6, также является множеством Делоне. Этот результат важен также в локальной теории правильных систем. Правильная система, то есть множество Делоне с транзитивной группой, является базисным компонентом атомной структуры идеального кристалла. Радиус регулярности означает такой размер кластеров, попарная конгруэнтность которых для данного множества Делоне обеспечивает правильность этого множества. Проведенное исследование 2R-изометричных множеств Делоне в R^3 с локальными группами, высота башен которых 4 и выше, в силу локального критерия правильных систем, индуцирует, что радиус конгруэнтности не превышает 8R. Результаты опубликованы в УМН в разделе "Сообщения ММО" http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=10037&option_lang=rus Группа классов отображений замкнутой поверхности рода g — это факторгруппа группы сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов этой поверхности по связной компоненте единицы. Важнейшей подгруппой группы классов отображений является группа Торелли, состоящая из всех классов отображений, действующих тривиально на гомологиях поверхности. Другой важной подгруппой является так называемое ядро Джонсона; его определение более сложно. Следующие проблемы поставлены давно и открыты до сих пор: является ли группа Торелли рода 3 конечно определенной и является ли ядро Джонсона рода 3 конечно порожденным. Используемый подход к этим проблемам опирается на изучение спектральных последовательностей, ассоциированных с действиями указанных групп на комплексе циклов — специальном клеточном комплексе, построенном Бествиной, Буксом и Маргалитом в 2007 году. На данном этапе проекта получены результаты о бесконечной порожденности ряда членов этих спектральных последовательностей, дающие продвижения в направлении гипотез о том, что группа Торелли рода 3 не является конечно определенной, а ядро Джонсона рода 3 не является конечно порожденным. Результаты опубликованы в журнале Известия РАН. Серия математическая. http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=9116&option_lang=rus На основе теории гиперэллиптических функций получены результаты о связи решений g-го стационарного уравнения Кортевега-де Фриза и структур, задающих дифференциальную геометрию тотальных пространств универсальных расслоений якобианов алгебраических кривых в случае гиперэллиптических кривых рода 2 и 3. Гипотеза геометризации Тёрстона (доказанная Перельманом) утверждает, что каждое замкнутое ориентируемое трёхмерное многообразие можно канонически разрезать на части так, что каждая часть будет иметь геометрическую структуру одного из 8 типов: S^3, R^3, H^3, S^2xR,H^2xR, универсальное накрытие Sl(2,R), Nil и Sol. На предыдущем этапе проекта было найдено в явном виде каноническое разложение по Тёрстону любого трехмерного ориентируемого малого накрытия. На данном этапе результат был обобщен на ориентируемые трехмерные многообразия, отвечающие векторным раскраскам многогранников любого ранга. Статья принята к публикации в журнале Математический сборник http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=9665&option_lang=rus В явном виде построены 2n коммутирующих инволюций на RP^{2n+1}, пространство совместных орбит которых гомеоморфно (2n+1)-сфере. Получено новое комбинаторное описание алгебры симметрий дифференциального уравнения Лиувилля. Открыта связь ламповой алгебры Ли, введенной в работах Иванова, Михайлова и Зайковского, с простейшей градуированной алгеброй Ли максимального класса m_0, введенной Вернь в начале 70-х. Дан отрицательный на вопрос Мурильо и Феликса о том, может ли конечнопорожденная бесконечномерная про-нильпотентная алгебра Ли иметь конечномерную вторую группу гомологий. Доказано, что кольцо SU-линейных операций в теории комплексных кобордизмов MU порождается известными геометрическими операциями \partial_i Коннера-Флойда-Новикова. Для теории c_1-сферических бордизмов W описаны все SU-линейные умножения в теории W и проекторы MU на W. Описаны комплексные ориентации теории W и соответствующие формальные группы F_W. В работе В.М. Бухштабера 1972 года были описаны локализации кольца коэффициентов формальной группы F_W, при которых получается локализация кольца скаляров \Omega_W теории W. Получено следующее обобщение результата В.М. Бухштабера: для любого SU-линейного умножения и комплексной ориентации теории W коэффициенты соответствующей формальной группы F_W без локализации не порождают кольцо \Omega_W. Статья подана в журнал. Изучены вещественные и голоморфные слоения на дополнении U(K) к набору координатных плоскостей в R^m и C^m, задаваемые конфигурацией векторов Г. Доказано, что пространство листов такого слоения является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда конфигурация векторов Г и симплициальный комплекс K, задающий дополнение набора плоскостей, двойственны по Гейлу к симплициальному вееру. Получен критерий компактности пространства листов в терминах полноты веера. Доказано, что в этом случае пространство листов диффеоморфно момент-угол многообразию. Отдельно рассмотрен случай нормального веера выпуклого многогранника или (возможно, неограниченного) полиэдра. Доказано, что в этом случае пространство листов слоения задаётся полным пересечением вещественных или эрмитовых квадрик. Получен критерий того, что двойственная по Гейлу конфигурация к Г и симплициальный комплекс K задают симплициальный веер, а также критерий того, что этот веер является нормальным веером выпуклого многогранника. Доказана изоморфность первых трёх градуированных компонент присоединённой алгебры Ли прямоугольной группы Кокстера дискретного набора из N точек и алгебры FL<m_1, ..., m_N> / ( [[m_i, m_j], m_j]=[[m_i, m_j], m_i] для любого i < j ), а также найдены общие дополнительные соотношения в четвёртой градуированной компоненте этих двух алгебр.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Многообразия Петерсона - известные примеры проективных алгебраических многообразий, задаваемых явными уравнениями. Эти многообразия ранее изучались с точки зрения алгебраической геометрии: известно, что они особые, но при этом их кольца когомологий обладают двойственностью Пуанкаре. Возникло предположение, что эти многообразия являются гомологическими многообразиями. В рамках проекта были исследованы вещественные точки многообразия Петерсона в многообразии полных трехмерных флагов. Было доказано, что это вещественное алгебраическое многообразие является замкнутым гомологическим многообразием, более того, оно гомеоморфно двумерному тору. Полученная в 2021 году явная гипотетическая формула, выражающая класс кобордизма n-й симметрической степени [Sym^n(V_g)] компактной римановой поверхности V_g произвольного рода g в виде целочисленного полинома от классов [CP^1], [CP^2], [CP^3], ..., доказана для всех n<6, а также для g=0 и g=1 и всех n. Построено действие 2m коммутирующих инволюций на компактном торе T^{2m+1}, являющихся автоморфизмами этого тора как группы Ли, такое, что соответствующее пространство орбит гомеоморфно RP^{2m+1}. В качестве следствия доказано, что многообразие RP^{2m+1} является 2^{2m}-значной абелевой косетной топологической группой. В явном виде построено действие 2m коммутирующих проективных инволюций на RP^{2m+1}, пространство орбит которого гомеоморфно (2m+1)-сфере. Доказано, что для любого эффективного сохраняющего ориентацию действия m коммутирующих инволюций на ориентируемом замкнутом связном топологическом многообразии X размерности большей 2, рациональные когомологические длины факторпространства Y=X/Z_2^{m} и самого многообразия X связаны неравенством L(Y)>=L(X)/(m+1). Публикация принята к печати в журнале Математические заметки. Доказано, что для любой конечной подгруппы G в SO(3), многообразие X_G, получающееся из SO(3) действием сопряжениями элементами из G, гомеоморфно RP^3 в случае нечетного порядка группы G, и гомеоморфно S^3 в случае четного порядка группы G. Также для любой конечной подгруппы G в SO(3), при поднятии ее в группу 2G при канонической проекции Sp(1)->SO(3), многообразие Y_G, получающееся из Sp(1)=S^3 действием сопряжениями элементами из 2G, всегда гомеоморфно S^3. Обе эти теоремы дают новые серии примеров косетных n-значных топологических групп на S^3 и RP^3. Публикация принята к печати в журнале Функциональный анализ и его приложения. Доказана гипотеза, усиливающая известное ранее утверждение о том, что кристаллическое ядро в любом множестве Делоне Х на плоскости является подмножеством Делоне. Доказано, что среди вершин любой ячейки разбиения Делоне хотя бы одна является кристаллической. А так как радиус описанной около ячейки окружности не превосходит R, то радиус R_{cr} не превышает 2R. Эта теорема является максимальным обобщением классической теоремы о невозможности оси пятого порядка в решетке. Завершено полное доказательство оценки 4R для радиуса регулярности на плоскости. Этот результат означает, что 4R-изометричное множество Делоне, то есть множество на плоскости с эквивалентными 4R-кластерами, является правильной системой (множеством с транзитивной группой симметрий). Доказано, что порядок n любого локального поворота в 2R-изометричном множестве в R^4, не имеющего неподвижных подпространств, не превышает 25. Это -- важный шаг на пути к получению универсальной оценки для радиуса регулярности в R^4. Результаты опубликованы в журнале Труды МИАН https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=4275&option_lang=rus Рассмотрим ориентированную замкнутую поверхность S рода 3, то есть сферу с тремя приклееными ручками. Классы изотопии сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов поверхности S на себя образуют группу, называемую группой классов отображений. В этой группе есть две очень важные подгруппы, называемые группой Торелли и ядром Джонсона. Рассмотрим на поверхности S объединение трех гомотопически нетривиальных попарно непересекающихся простых замкнутых кривых M, таких, что дополнение S-M связно. Проведено исследование абелизаций стабилизаторов мультикривой M в группе Торелли I, в ядре Джонсона K и в некоторой специальной промежуточной группе G. В случае группы Торелли I и группы G получено полное описание абелизации стабилизатора; в случае ядра Джонсона K получен частичный результат. Доказано, что для любого рода g гиперэллиптическая функция Клейна, соответствующая кривой этого рода, задаёт решение параметрической иерархии Кортевега-де Фриза. Параметры иерархии заданы в виде полиномов от параметров гиперэллиптической функции. На основе этого результата описана связь алгебры Ли дифференцирований гиперэллиптических функций с высшими стационарными уравнениями Кортевега-де Фриза. Результаты опубликованы в журнале Функц. анализ и его прил. https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid= faa&paperid=4020&option_lang=rus Доказано, что существует однопараметрическое семейство трёхмерных гиперболических многогранников конечного объёма, связывающих идеальный прямоугольный многогранник и многогранник, получаемый из него операцией скручивания ребра. У многогранников семейства все двугранные углы, кроме одного, прямые, а один угол изменяется от развернутого угла до нулевого. Доказано, что если семейство гладкое, то дифференциальная формула Шлефли применима к этому семейству и даёт монотонность изменения объёма при операции скручивания рёбер. Вопрос о гладкости пока остаётся открытым. Показано, что алгебра Ли фонарщика над полем рациональных чисел, введенная в работах С.О. Иванова, Р.В. Михайлова и А.А. Зайковского, изоморфна бесконечномерной естественно градуированной алгебре Ли максимального класса. Найдена структура нильсолитонной метрики для всех конечномерных факторов положительной части алгебры токов алгебры Ли sl(2). Результаты опубликованы в журнале Труды МИАН https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=4297&option_lang=rus На основе полиэдральных произведений и дга-моделей вычислены эквивариантные когомологии момент-угол-комплекса Z_K относительно действий координатных подторов T_I в T^m. Результаты опубликованы в журнале Труды МИАН https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=4282&option_lang=rus Получено описание пространства листов вещественного или голоморфного слоения на дополнении к набору вещественных или комплексных координатных плоскостей, задаваемых конфигурацией векторов, как множества минимумов норм на листах слоения в различных метриках. Получено полное описание базиса 4-й градуированной компоненты присоединённой алгебры Ли для прямоугольных групп Кокстера, соответствующих симплициальным комплексам на 4 точках. Разработан алгоритм, который выписывает базис 4-й градуированной компоненты присоединённой алгебры Ли для прямоугольных групп Кокстера в общем случае.