Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Выполненные 2019-ом году работы и полученные по ним научные результаты: (1) Разработаны, обоснованы теоретически и реализованы на кластерах Сибирского Суперкомпьютерного Центра алгоритмы стохастического моделирования для решения нелинейной системы уравнений транспорта дрифта-диффузии электронов и дырок в полупроводниках. Для системы нелинейных уравнений дрифта-диффузии-Пуассона впервые построен стохастический алгоритм моделирования, решающий такие системы с произвольными граничными условиями в областях со сложной границей и позволяющий учитывать флуктуации входных параметров. По данным работам подготовлена публикация: K. Sabelfeld, A. Kireeva, Hybrid stochastic and cellular automata algorithms for solving nonlinear system of drift-diffusion-Poisson equations, в данное время эта работа проходит рецензирование в журнале "Nonlinear Analysis: Hybrid Systems". Для системы уравнений, куда, кроме вышеупомянутой нелинейной системы, входят кинетическое уравнение Больцмана, уравнение потенциала и уравнение Шредингера, нами разработаны алгоритмы, основанные на моделировании траекторий виртуальных частиц, позволяющие решать задачи о вычислении дрифта электронов для широкого класса двух- и трехмерных областей. На их основе построены алгоритмы метода Монте-Карло для расчета и исследования полупроводниковых гетероструктур совместно с физиками из Института Физики Полупроводников им. Ржанова СО РАН. Для слоистых областей реализован стохастический алгоритм моделирования транспорта электронов и дырок, при этом имплементация метода включает в себя вывод вероятностных представлений решений, на основе которых построены бессеточные методы стохастического моделирования, комбинированные с общей схемой построения клеточно-автоматного алгоритма. Результаты этих исследований были представлены на пленарном докладе: K. Sabelfeld, A global Random walk on Spheres algorithm for solving linear and nonlinear drift-diffusion-reaction equations, Международная конференция Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики 2019 (АПВПМ-2019), Академгородок, Новосибирск, Россия, 1-5 июля 2019 (Приглашенный пленарный доклад), а также приглашенным докладом: Sabelfeld K.K. Stochastic simulation methods in physics of semiconductors, International conference in honor of the 90 birthday of K. Godunov, "Mathematics and its Applications", august, 4-10, 2019, Novosibirsk, Russia. Invited talk. (2) Проведена апробация алгоритма стохастического моделирования для нелинейной системы уравнений дрифта-диффузии-Пуассона для случаев, когда известно точное решение, что позволило оттестировать новый алгоритм и оценить его трудоемкость и погрешность. Проведена также апробация работы различных элементов алгоритма при реализации на машинах Сибирского суперкомпьютерного центра с максимально возможной параллелизацией. Результаты этой работы опубликованы в статье: Kireeva A.E., Sabelfeld K.K., Kireev S.E, Synchronous multi-particle cellular automaton model of diffusion with self-annihilation, Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics), 2019 (11657) LNCS, 345-359. Эти исследования были представлены докладом на международной конференции по параллельным компьютерным технологиям: A. E. Kireeva, K. K. Sabelfeld, S. Kireev, Synchronous Multi-particle Cellular Automaton Model of Diffusion with Self-Annihilation,15th International Conference on Parallel Computing Technologies, August 19-23, 2019, Almaty, Kazakhstan. (3) Результатом работ по двум предыдущим пунктам явилось создание алгоритмов и программ стохастического моделирования, апробированные на решении задач по расчету транспорта электронов и дырок с учетом всех основных классических и квантовых взаимодействий между атомами, электронами, фононами, дырками, экситонами, и дефектами в кристаллической решетке. По математическим аспектам данных исследований опубликована работа Sabelfeld K.K. Stochastic algorithm for solving transient diffusion equations with a precise accounting of reflection boundary conditions on a substrate surface, Applied Mathematics Letters, v. 96 (2019), 187-194 (входит в первый квартиль Q1 по Scimago J.), а также готовится совместная публикация с группой физиков из Института физики полупроводников им. Ржанова СО РАН. (4). С помощью разработанных методов рандомизации суперкомпьютерных вычислений удалось значительно повысить быстродействие стохастического моделирования траекторий электронов. Здесь нами разработаны новые случайные процессы проектирования на подпространства меньшей размерности с использованием теорем о концентрации меры. Построены методы разреживания гауссовских случайных матриц со статистически независимыми элементами, и предложены масштабируемые методы сжатия входных данных. На этой основе созданы алгоритмы стохастического моделирования процессов дрифта-диффузии экситонов от источников очень большой размерности. Этот подход существенно продвигает решение транспортных задач в условиях анизотропии. По данным работам опубликованы две статьи: (1) Sabelfeld K.K. Random walk on rectangles and parallelepipeds algorithm for solving transient anisotropic drift-diffusion-reaction problems, Monte Carlo Methods and Applications, 25 (2019), issue 2, 131-146, (2) Shalimova I. A. Sabelfeld K.K. A random walk on small spheres method for solving transient anisotropic diffusion problem, MCMA 25 (2019), issue 3, 271-282, а также подготовлена статья совместно с физиками из Института твердотельной электроники им. П. Друде (PDI, Berlin): U. Jahn, V. M. Kaganer, K. K. Sabelfeld, A. E. Kireeva, J. Laehnemann,C. Pfueller, C. Cheze, K. Biermann,R. Calarco,and O. Brandt, Determination of the carrier diffusion length in GaN by cathodoluminescence imaging. I: Temperature-dependent generation volume, направленная в печать в журнал "Phys. Rev. B". (5). Разработан гибридный кинетический метод Монте-Карло в комбинации с классической теорией нуклеации для моделирования процесса нуклеации и роста нановискеров. По данным работам подготовлена статья: Sabelfeld K.K., Kablukova Е. G., Stochastic simulation of nucleation and growth of nanowires in plasma-assisted molecular beam epitaxy, Computational Materials Science, submitted, 2019. Проведены предварительные сравнения результатов моделирования с экспериментальными данными выращивания нановискеров из нитрида галлия в сотрудничестве с группой физиков из Института твердотельной электроники им. П. Друде (Берлин). Работы будут продолжены в 2020 году. Результаты также представлены совместным докладом на международной конференции: V. Kaganer, S. Fernandez-Garrido, K. Sabelfeld, D. van Treeck, L. Geelhaar, and O. Brandt, Constituents of the growth of GaN nanowire arrays: nucleation, radius selfregulation, height self-equilibration, bundling, elastic and plastic relaxation, International conference "Mechanisms and non-linear problems of nucleation and growth of crystals and thin films", 01-05 July 2019, Saint-Petersburg, Russia. (6). Наиболее значимый результат 2019 года: Обнаружен новый эффект взаимодействия экситона с дислокациями, построены теория этого взаимодействия, проведено стохастическое моделирование и экспериментальное исследование совместно с немецкими физиками из Института твердотельной электроники им. П. Друде (PDI, Berlin) дрифта, диффузии и рекомбинации экситонов в пьезоэлектрическом поле, порождаемом упругими напряжениями вокруг проникающих дислокаций. Компьютерное моделирование с помощью разработанных алгоритмов показало, что, в отличие от общепринятой теории, контраст интенсивности катодолюминесценции (CL) слабо зависит от диффузии экситонов, но контраст энергии CL очень чувствителен к длине диффузии и, следовательно, позволяет определять ее экспериментально. Результаты экспериментов, специально проведенных немецкими физиками из Института твердотельной электроники им. П. Друде, Берлин, подтвердили этот вывод. Новая теория впервые позволила корректно определять подвижность экситонов и их длину диффузии в полупроводниках, что открывает новые возможности для создания наноразмерной элементной базы для нужд фотоники и оптоэлектроники. Более детально, здесь нами разработана новая теория взаимодействия экситонов с проникающими дислокациями в кристаллах, основанная на нерадиационной рекомбинации экситонов в пьезоэлектрическом поле вокруг дислокации, создаваемом упругими напряжениями. С помощью расчетов, а затем и экспериментально, удалось обнаружить новый эффект: кривые интенсивности катодолюминесценции очень слабо зависят от длины диффузии экситонов, что закрывает проблему измерения длины диффузии по форме этих кривых, хотя и данная техника традиционно используется на практике. Однако нами обнаружена сильная зависимость от длины диффузии распределения энергии запрещенной зоны вокруг дислокации, что дает новый метод определения длины диффузии экситона. Результаты данного совместного с немецкими физиками из Института твердотельной электроники им. П. Друде (PDI, Berlin)) исследования опубликованы в работе: Vladimir M. Kaganer, Jonas Laуhnemann, Carsten Pfuуller, Karl K. Sabelfeld, Anastasya E. Kireeva, and Oliver Brandt. Determination of the carrier diffusion length in GaN from cathodoluminescence maps around threading dislocations: fallacies and opportunities. Physical Review Applied, volume 12, issue 5 (2019), 054023. импакт фактор 4. 532, входит в первый квартиль (Q1) по импакт-фактору JCR Science Edition. Обнаружение данного эффекта стало возможным благодаря проведению точного стохастического моделирования процессов транспорта и рекомбинации экситонов. Для задач катодолюминесцентной визуализации дислокаций и дефектов нами разработаны новые алгоритмы моделирования движения экситонов с учетом их радиационной и нерадиационной рекомбинаций в области влияния пьезоэлектрического поля вокруг дислокаций, вызванных упругими напряжениями. Создан общий метод генерации экситонов электронным пучком для переменных температур, обобщающий метод, реализованный в известном кембриджском коде "Casino" лишь для одной фиксированной температуры. Работа была также представлена докладом: Vladimir Kaganer, J. Laehnemann, C. Pfueller, O. Brandt, K. Sabelfeld, A. Kireeva. Can we determine the carrier diffusion length in GaN from cathodoluminescence maps around threading dislocations? International Conference on Defects-Recognition, Imaging and Physics in Semiconductors (DRIP XVIII), September 8-12, 2019, Berlin, Germany.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
1. Построены оптимальные алгоритмы стохастического моделирования, предложенные в данном проекте, и их гибридные варианты с клеточно-автоматными реализациями для решения систем уравнений транспорта в полупроводниках. По данному направлению исследований предложены два подхода к решению задачи о стохастическом моделировании транспорта и рекомбинации электронов и дырок в полупроводниках и разрабатываемых гетероструктурных электронных устройств, как двумерных, так и трехмерных. (1) В первом подходе решение нелинейной системы уравнений дрифта-диффузии-Пуассона строится с помощью новых глобальных алгоритмов случайного блуждания и их гибридных вариантов с клеточно-автоматными алгоритмами, (2) Во втором подходе построение алгоритмов стохастического моделирования транспорта электронов и дырок осуществляется на основе решения уравнения Больцмана с помощью кинетического метода Монте-Карло, с учетом квантовых рассеяний электронов и междолинных взаимодействий. Результаты исследований по подходу (1) опубликованы в работах: 1. K. Sabelfeld, A. Kireeva. Stochastic simulation algorithms for solving a nonlinear system of drift-diffusion-Poisson equations of semiconductors, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 556 (2020) Article ID 124800, Q2. 2. K. Sabelfeld, A. Kireeva. Parallel Implementation of Stochastic Simulation Algorithm for Nonlinear Systems of Electron-Hole Transport Equations in a Semiconductor, Communications in Computer and Information Science, 1263, 251--266, Springer Nature Switzerland AG, 2020, https://doi.org/10.1007/978-3-030-55326-5_18. В этих работах построен высокоэкономичный глобальный алгоритм на основе гибридизации случайного блуждания и параллельной клеточно-автоматной реализации. На основе разработанного алгоритма создан программный комплекс для расчетов полей и концентраций электронов и дырок как в мобильной конфигурации кодов для персональных компьютеров, так и эффективные программные комплексы для реализации на высокопроизводительных суперкомпьютерах, которые были апробированы на кластерах Сибирского Суперкомпьютерного Центра. В этих работах построен глобальный алгоритма случайного блуждания для решения нелинейной системы уравнений дрифта-диффузии-Пуассона в самом общем виде, с учетом скорости рекомбинации и различных типов дефектов. Это позволило проанализировать падение эффективности GaN-светодиодов с увеличением тока через светодиоды, что было нами изучено также с помощью моделирования нестационарного транспорта и рекомбинаций экситонов. При этом мы учитывали и природу случайного расположения дислокаций и дефектов, результаты этого исследования отражены в нашей работе 3. K. Sabelfeld, A. Kireeva. Electron-hole transport in semiconductors: stochastic dynamics simulation, Journal of Physics: Conference Series. 2020, принятой в печать. В рамках второго подхода (2) построены алгоритмы стохастического моделирования транспорта электронов и дырок на основе решения уравнения Больцмана с помощью кинетического метода Монте-Карло, с учетом квантовых рассеяний электронов и междолинных взаимодействий. По данным работам опубликована статья: E. Kablukova, K. Sabelfeld, D. Protasov, K. Zhuravlev, Drift velocity in GaN semiconductros: Monte Carlo simulation and comparison with experimental measurements, Monte Carlo Methods and Applications, v.26, issue 4, 263-271. Данная работа выполнена в соавторстве с физиками-экспериментаторами из Института физики полупроводников им. Ржанова Сибирского отделения РАН, что позволило осуществить сравнение результатов компьютерного моделирования с экспериментальными данными. В этом исследовании мы опирались на точные представления для вероятностей рассеяния и распределения углов рассеяния электронов на полярных оптических фононах и междолинных фононах, а также представления для акустического деформационного потенциала, поэтому удалось построить прецизионные алгоритмы моделирования движения и рассеяния электронов и вычислить различные макро-характеристики, такие как дрейфовая скорость электронов. Хорошее согласие расчетов с экспериментальными измерениями позволило сделать вывод о том, что M-L долина располагается на 0.7 электрон вольт выше, чем Гамма-долина. 2. Разработаны стохастические модели процесса зарождения и роста нановискеров из нитрида галлия и создана компьютерная программа моделирования роста нановискеров, начиная с процесса зарождения (nucleation regime), затем фазы формирования устойчивых трехмерных островков (islands formation), и заканчивая процессом одномерного роста сформированных нановискеров (nanowire growth). Алгоритмы моделирования всех фаз роста нановискеров построены на базе нашей стохастической модели, опубликованной ранее в журнале Computational Materials Science (Sabelfeld K.K. and Kablukova E.G. Stochastic simulation of nanowire growth and coallescence in plasma-assisted molecular beam epitaxy. Computational Materials science, vol. 141 (2018) pp. 341-352.). Однако главный результат получен для такой трудной задачи, как проблема моделирования фазы зарождения, поскольку ее не удается описать с помощью классической теории нуклеации и решения системы уравнений Смолуховского и ее варианта - модели Беккера-Дёринга. Нами показано, что классическая модель нуклеации не позволяет смоделировать процесс зарождения, в котором инкубационный период нуклеации очень длинный (десятки минут), но который заканчивается очень быстрым зародышеобразованием. Поэтому нами развита новая модель нуклеации, включающая в себя схему кинетического метода Монте-Карло, алгоритм минимизации энергии по типу модели Изинга и алгоритма Метрополиса, а также прямое стохастическое моделирование элементарных событий на атомарном уровне взаимодействия. Проведено детальное исследование данной модели на основе компьютерного моделирования с целью воспроизвести два основных свойства зарождения нановискеров - большое инкубационное время нуклеации и быструю скорость зарождения островков, согласованные с результатами экспериментов для нановискеров из нитрида галлия. Результаты данной работы представлены на международной конференции в Новосибирске: K. K. Sabelfeld, S. E. Kireev, Stochastic simulation of GaN island formation in molecular beam epitaxy, The International Conference «Marchuk Scientific Readings 2020» (MSR-2020), dedicated to the 95th anniversary of the birthday of Academician Guri. I. Marchuk, June 29 - July 3, 2020, полная статья направлена в журнал Monte Carlo Methods and Applications. Данный подход в комбинации с методом Метрополиса и моделью Изинга был нами применен также для исследования формирования кристаллов в окружении растворителя, который при испарении содействует рождению кластеров и формированию островковой структуры. Эти исследования проведены совместно с группой физиков из Института физики полупроводников им. Ржанова СО РАН. Результаты этих совместных исследований представлены на международной конференции, публикациия в тезисах конференции: Svit K.A., Kireev S.E., Sabelfeld K.K. Stochastic simulation of self-assembly formation of cds nanocrystals synthesized by the Langmuir-Blodgett method. The XIII International Conference COMPUTER-AIDED TECHNOLOGIES IN APPLIED MATHEMATICS ICAM 2020, September, 7-9, 2020, Tomsk, Russia, 111-112. полная статья направлена в журнал Physica A. 3. Получен ряд новых результатов по задаче катодолюминесценции и катодолюминесцентной визуализации дислокаций в полупроводниковых материалах. Эти результаты получены в том числе совместно с группой физиков из Института твердотельной электроники им. П. Друде (Берлин). В этих исследованиях нам удалось существенно продвинуться в понимании природы нерадиационной рекомбинации экситонов, и вычислить с большой точностью длину диффузии экситонов, причем с учетом температурной зависимости. В продолжение нашей совместной публикации 2019 года ( Physical Review Applied, v. 12, issue 5 (2019), article ID 054023), где были заложены основы нашего подхода, выполненной в рамках данного проекта в 2019 году, в 2020 г. нам удалось выполнить серию исследований по всестороннему анализу процесса катодолюминесценции экситонов в полупроводниковых материалах, результаты которых подготовлены в виде трех статей, направленных в журнал Physical Review X. Сами статьи находятся в общем доступе, они предварительно опубликованы в депозитарии в arXiv: 1. arXiv:2009.14634 Title: Carrier diffusion in GaN -- a cathodoluminescence study. III: Nature of nonradiative recombination at threading dislocations. Authors: Jonas Laehnemann, Vladimir M. Kaganer, Karl K. Sabelfeld, Anastasya E. Kireeva, Uwe Jahn, Caroline Cheze, Raffaella Calarco, Oliver Brandt. 2. arXiv:2009.13983 Title: Carrier diffusion in GaN -- a cathodoluminescence study. II: Ambipolar vs. exciton diffusion. Authors: Oliver Brandt, Vladimir M. Kaganer, Jonas Laehnemann, Timur Flissikowski, Carsten Pfueller, Karl K. Sabelfeld, Anastasya E. Kireeva, Caroline Cheze, Raffaella Calarco, Holger T. Grahn, Uwe Jahn. 3. arXiv:2002.08713 Title: Carrier diffusion in GaN -- a cathodoluminescence study. I: Temperature-dependent generation volume. Authors: Uwe Jahn, Vladimir M. Kaganer, Karl K. Sabelfeld, Anastasya E. Kireeva, Jonas Laehnemann, Carsten Pfueller, Caroline Cheze, Klaus Biermann, Raffaella Calarco, Oliver Brandt. 4. Разработан алгоритм для решения задач катодолюминесцентной визуализации дислокаций для случая анизотропной диффузии. Здесь предложено два разных подхода: первый основан на вероятностных представлениях решений уравнения дрифта-диффузии-рекомбинаций для параллелепипедов, с дальнейшей реализацией итерационного процесса блуждания методом Монте-Карло. Работа опубликована в журнале Probabilistic Engineering Mechanics: Sabelfeld K.K. Mesh free stochastic algorithms for systems of diffusion-advection-reaction equations and anisotropic diffusion flux calculations, Probabilistic engineering mechanics, v.61 (2020), Article ID 103065 (Q1). Второй подход более общий, он основан на эллипсоидальном интегральном соотношении для решений общих эллиптических и параболических уравнений, полученном нами в работе: I.A. Shalimova, K. K. Sabelfeld. Random walk on ellipsoids method for solving elliptic and parabolic equations, Monte Carlo Methods and Applications, vol. 23 (2020), issue 4. На основе этих интегральных представлений в этой статье построен алгоритм блуждания по эллипсоидам и написана экономичная программа, реализующая данный алгоритм. Получены детальные оценки для скорости сходимости метода и его трудоемкости. Отметим, что данный подход решает и задачу, сформулированную в п. 4 плана проекта на 2020 г.: поскольку в данном методе моделируются и времена выхода экситонов на поверхность произвольного эллипсоида (first passage time), алгоритм позволяет оценивать квантовую эффективность по временным кривым интенсивности катодолюминесценции. 5. Предложен новый метод стохастического моделирования для систем транспортных уравнений с учетом дрифта-диффузии, позволяющий эффективно решать проблему о захвате частиц мишенями асимптотически малого размера, - такие задачи актуальны во многих практических проблемах химии и биологии. Идея нашего подхода может быть сформулирована достаточно просто: для того, чтобы получить более богатую статистику траекторий, достигающих нужные мишени малого размера, мы вводим искусственным образом дрифт, направленный в сторону этой мишени. Решение же исходной задачи вычисляется на основе установленного аналитического соотношения между решениями уравнения чистой диффузии и уравнения дрифта-диффузии-рекомбинаций. Построенный алгоритм показал кардинальное улучшение эффективности на примерах решения трехмерных задач. Данные исследования опубликованы в журнале Journal of Computational Physics: Sabelfeld K.K. Stochastic simulation algorithms for solving narrow escape diffusion problems by introducing a drift to the target, Journal of Computational Physics, 410 (2020), Article ID 109406 (Q1), а также в журнале Monte Carlo Methods and Applications: Karl K. Sabelfeld, Nikita Popov, Monte Carlo tracking drift-diffusion trajectories algorithm for solving narrow escape problems. Monte Carlo Methods and Applications, 26 (2020), issue 3, 177-191, где проведена серия численных экспериментов по выявлению оптимального выбора значения дрифта и получено экспериментальное подтверждение высокой эффективности метода в решении таких задач. Разработанные алгоритмы расчета потоков на мишени малого размера и вычисления времени достижения частицами таких мишеней применены к решению задачи о коррозийной стабильности пористого углерода, а также к задачам внутриклеточного транспорта. В целом по работам 2020 года опубликовано 9 статей в ведущих зарубежных научных журналах, входящих в базу цитирования Web of Science, и из них - 2 статьи, входящие в группу Q1 базы цитирования Web of Science.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
1. В 2021 г. разработаны и реализованы алгоритмы типа "first passage time" для вычисления различных функционалов от решения уравнения дрифта-диффузии в стационарной и нестационарной постановках, описывающие транспорт и рекомбинацию экситонов в полупроводниках с дислокациями. Алгоритмы построены для вычисления практически интересных функционалов, в частности, потоков экситонов на малые участки границ, например, на дислокации и на другие дефекты в кристаллах. Алгоритмы позволяют рассчитывать и интенсивность катодолюминесценции, которая зависит от временем жизни экситонов и числа Пекле, определяющего относительный вклад в движение экситона за счет дрифта сравнительно с его диффузионным движением. Преодолена трудность, связанная с тем, что скорость экситона в окрестности дислокации имеет сингулярный характер. Разработанный стохастический алгоритм очень эффективно вычисляет третий важный в оптоэлектронике функционал - это ток, индуцированный пучком электронов (electron beam induced current (EBIC)). Он определяется как поток экситонов на границу полупроводника. Еще одна трудность связана с точным учетом третьего граничного условия, поскольку рекомбинации экситонов могут происходить в тонком приграничном слое, в связи с чем использование конечно-разностного метода здесь связано с введением чрезвычайно мелких сеток, и такой метод здесь неприменим. Поэтому мы разработали вероятностный метод моделирования, основанный на точном представлении всех необходимых распределений. По данным работам опубликована статья K. Sabelfeld, A. Kireeva. A Global Random Walk on Spheres algorithm for calculating the solution and its derivatives of drift-diffusion-reaction equations. Mathematical Methods in the applied sciences, 2021, published online 07.10.2021, DOI: 10.1002/MMA.7861 (Q1). Разработан также глобальный вариант блуждания по сеткам, позволяющий вычислять не только функционалы от решения, но и сами поля решений, описывающие распределение выживших экситонов, на одном ансамбле траектрий. Это исследование опубликовано в статье: K. Sabelfeld, D. Smirnov, A global random walk on grid algorithm for second order elliptic equations, Monte Carlo Methods and Applications, v.27 (2021), issue 3, 211-225. doi: 10.1515/mcma-2021-2092. 2. В задаче анализа эпитаксиальных пленок и пространственных распределений выращиваемых нановискеров методами рентгеновской дифракции, которая решалась в данном проекте стохастическими проекционными методами, трудность возникает при работе с очень большими данными, в частности, при решении больших систем интегральных и алгебраических уравнений. Над данной проблемой нами проводились в 2021 году исследования, направленные на поиск высокоэкономичных алгоритмов решения линейных уравнений экстремально больших размерностей. Разработан алгоритм рандомизированного вычисления итераций операторов, основанный на предложенном нами преобразовании Перроновских матриц к стохастическим. Здесь нам также удалось построить метод, позволяющий сводить исходную задачу с произвольной матрицей (то есть матрица не обязана быть неотрицательной и неразложимой) к стохастической матрице. И уже для стохастической матрицы построен векторный раномизированный итерационный метод. Трудоёмкость метода оказалась очень высокой, она зависит от размерности задачи линейным образом, и к тому же допускает высокую степень параллелизации. Исследования по данной проблеме опубликованы в работе K. Sabelfeld, A new randomized vector algorithm for iterative solution of large linear systems, Applied Mathematics Letters, 2021, 24.11.2021, DOI:10.1016./j.aml.2021.107830 (Q1). 3. В 2021 году завершен большой цикл работ по исследованию транспорта экситонов в GaN полупроводнике на основе катодолюминесцентного метода, начатый нами в 2019 году в рамках данного проекта совместно с группой немецких физиков из Института твердотельной электроники им. П. Друде, Берлин (Paul Drude Institute of solid state electronics (PDI). Berlin). Здесь получены наиболее значимые результаты, поскольку задачи, представленные в данном пункте, являются одними из центральных в нашем проекте в целом. Действительно, при работе над моделированием катодолюминесцентных карт с помощью решения уравнений дрифта-диффузии экситонов в полупроводниках методами стохастического моделирования и совместных исследованиях с группой немецких физиков удалось обнаружить новый эффект нерадиационной рекомбинации экситонов в пьезоэлектрическом поле, создаваемом упругими напряжениями вокруг дислокаций. Первое исследование было выполнено нами в 2019 году, в рамках данного проекта, и опубликовано в работе Vladimir M. Kaganer, Jonas Laуhnemann, Carsten Pfuеller, Karl K. Sabelfeld, Anastasya E. Kireeva, and Oliver Brandt. Determination of the carrier diffusion length in GaN from cathodoluminescence maps around threading dislocations: fallacies and opportunities. Physical Review Applied, v. 12, issue 5 (2019), Article ID 054023 (Q1). Отметим, что эта работа вошла в список наиболее ярких результатов грантополучателей РНФ, см. итоговый отчет РНФ за 2019 год, с указанием ссылки http://www.sib-science.info/ru/grants/vychislitelnaya-12042020, где приводится текст статьи с названием "Вычислительная модель, созданная в ИВМиМГ СО РАН, вошла в число самых ярких результатов грантополучателей РНФ". Эти важные исследования были продолжены нами и в 2021 году, поскольку полученный новый эффект породил множество различных работ не только в нашей группе исследователей, но и во многих группах в мире, занимающихся исследованием наноструктурных включений в полупроводниках с помощью катодолюминесценции. В совместной работе с немецкой группой физиков в 2021 году нами были выполнены работы по различным аспектам, связанным с данным эффектом, и подготовлены к печати три статьи: в первой из них изучается наш эффект в зависимости от температуры источника, генерирующего экситоны (статья 1, см. ниже); во второй статье изучаются различные тонкие эффекты диффузии экситонов при различных температурах источника, исследовано поведение экситонов в окрестнотси квантовой ямы (статья 2). В третьей статье исследованы источники нерадиационной рекомбинации экситонов на дислокациях (статья 3). Статьи опубликованы в aRxiv, и поданы в печать в журнал Phys. Rev Applied, где уже прошли рецензирование и будут приняты к печати вероятно во второй половине декабря. Цитированные здесь статьи: 1. U. Jahn, V. M. Kaganer, K. K. Sabelfeld, A. E. Kireeva, J. Laehnemann, C. Pfueller, C. Cheze, K. Biermann, R. Calarco, and O. Brandt. Carrier diffusion in GaN - a cathodoluminescence study: Temperature-dependent generation volume. Phys Rev. Applied, 2021, submitted, published in arXiv:2002.08713v4. 2. O. Brandt, V. M. Kaganer, J. Laehnemann, T. Flissikowski, C. Pfueller, K. K. Sabelfeld, A. E. Kireeva, C. Cheze, R. Calarco, H. Grahn, and U. Jahn. Carrier diffusion in GaN - a cathodoluminescence study. II: Ambipolar vs. exciton diffusion. Phys Rev. Applied, 2021, submitted, published in arXiv:2009.13983v3. 3. J. Laehnemann, V. M. Kaganer, K. K. Sabelfeld, A. E. Kireeva, U. Jahn, C. Cheze, R. Calarco, and O. Brandt. Carrier diffusion in GaN - a cathodoluminescence study. III: Nature of nonradiative recombination at threading dislocations. Phys Rev. Applied, 2021, submitted, published in arXiv:2009.14634v2. Исследования, опубликованные в данных работах, открывают новые перспективы конструирования наноразмерных оптоэлектронных устройств, работающих на использованиипотоков экситонов, и будут нами продолжены в запланированных совместных исследованиях с вышеупомянутой немецкой группой физиков. 4. Создана модель и на ее основе алгоритм стохастического моделирования нестационарного поведение экситонов в задаче о радиационной рекомбинации экситонов и вычисления квантовой эффективности. Тематика данного исследования тесно связана с работами предыдущего раздела 3, поскольку она также посвящена исследованиям транспорта экситонов и разработке методов катодолюминесценции для визуализации дислокаций и других наноразмерных включений в кристаллической решетке. Существенное отличие в том, что задача решается в нестационарной постановке, а целью является получение информации о плотности дисслокаций всего по одной карте фотолюминесценции, но развернутой во времени с пикосекундным разрешением. Нами были разработаны алгоритмы случайного блуждания для решения таких задач, при этом случайные блуждания экситонов строились как в непрерывном пространстве траекторий, так и в дискретном, что позволило контролировать точность расчетов. Созданные алгоритмы стохастического моделирования позволяют рассчитывать нестационарное поведение интенсивности катодолюминесценции для большого ансамбля дислокаций с учетом нерадиационной рекомбинации при разрушении экситонов пьезоэлектрическим полем вокруг дислокаций. Алгоритм позволяет вычислять и квантовую эффективность. Расчеты сопровождались экспериментальными измерениями, которые проводились в сотрудничестве с группой немецких физиков из института PDI, Берлин. По данным исследованиям выполнены две работы, одна из них подана в печать, другая опубликована: (1) Karl K. Sabelfeld, Anastasya E. Kireeva, Vladimir M. Kaganer, and Oliver Brandt. Effect of dislocations on transient cathodoluminescence intensity in GaN, submitted to Phys. Rev. Applied, 2021. (2) I.A. Shalimova and K.K. Sabelfeld, Random walk on spheres algorithm for solving steady-state and transient diffusion-recombination problems. Monte Carlo Methods and Applications, v.27 (2021), issue 4, 301-313, DOI: 10.1515/mcma-2021-2099. 5. Для задач транспорта экситонов с сильно выраженной анизотропией разработан алгоритм, основанный на случайных блужданиях по параллелепипедам. Для задач с переменными коэффициентами диффузии и временами жизни экситонов разработан алгоритм случайного блуждания по сеточной области, при этом был реализован как прямой метод, так и метод, основанный на моделировании обратных траекторий. Алгоритм позволяет точно моделировать рекомбинации экситонов на граничных поверхностях. Валидация данного подхода осуществляется на основе разработанных нами глобальных алгоритмов случайного блуждания по сеткам для эллиптических уравнений общего вида. Опубликовано две статьи, третья статья находится на рецензировании в журнале Methodology and Computing in Applied probability: 1. K. Sabelfeld, A. Kireeva. A Global Random Walk on Spheres algorithm for calculating the solution and its derivatives of drift-diffusion-reaction equations. Mathematical Methods in the applied sciences, 2021, published online 07.10.2021, DOI: 10.1002/MMA.7861. 2. Karl K. Sabelfeld, Dmitry Smirnov, Ivan Dimov, and Venelin Todorov, A global random walk on grid algorithm for second order elliptic equations, Monte Carlo Methods and Applications, v.27 (2021), issue 4, 325-339, DOI: 10.1515/mcma-2021-2097. 3. K. Sabelfeld, A. Kireeva. A meshless random walk on parallelepipeds algorithm for solving transient anisotropic diffusion-recombination equations and applications to cathodoluminescence imaging. Methodology And Computing in Applied probability, submitted, 2021. 6. Разработаны методы стохастического моделирования всего процесса выращивания GaN нановискеров методами пучковой эпитаксии, от процесса зарождения с большим инкубационным временем, переходным процессом формирования устойчивого нановискера с фиксированным поперечным диаметром, и дальнейшим вертикальным ростом. Следует отметить, что если процесс роста нановискеров при наличии уже заданного начального распределения устойчивых островков критического размера нами уже хорошо исследован в рамках данного проекта в работах 2019-2020гг, то процесс зарождения островков продолжает представлять большие трудности как для моделирования, так и для экспериментального исследования. Трудности связаны и с тем, что процесс формирования устойчивых оcтровков влияет и на динамику процесса роста нановискеров, поэтому эти два этапа выращивания нановискеров в нашем методе моделируются в одной единой схеме. Использовались алгоритм Метрополиса (процесс нуклеации), термодинамический подход по определению размера критического зародыша (формирование устойчивого зародыша), и методы случайного блуждания и их клеточно-автоматной импллементации (диффузионный рост нановискеров). Наряду с моделированием процесса роста нановискеров разработана модель стохастического моделирования зарождения и агрегации нанокристаллов сульфида кадмия, синтезированных в матрице Ленгмюра-Блоджетт. Эти исследования проводились совместно с группой физиков из Института физики полупроводников им. Ржанова СО РАН, Новосибисрк. По данным работам опубликована статья, и еще одна статья находится в рецензировании в журнале Computational Materials science: 1. Kablukova E.G. Stochastic model and simulation of GaN nanowires formation characterized by long incubation time followed by burst nucleation, growth and coalescence. Computational Materials science, submitted, under review, 2021. 2. K. Svit, S. Kireev, K. Sabelfeld, A stochastic model, simulation, and application to aggregation of cadmium sulfide nanocrystals upon evaporation of the Langmuir-Blodgett matrix, Monte Carlo Methods and Applications, v.27 (2021), issue 4, 289-299. 7. Разработана стохастическая модель и алгоритм моделирования транспорта электронов в гетероструктурах с учетом квантовых взаимодействий в различных энергетических зонах. Эти исследования проведены совместно с группой физиков из Института Физики Полупроволников им. Ржанова СО РАН. Алгоритмы построены на основе решения интегрального уравнения Больцмана с учетом квантовых взаимодействий и учетом междолинных рассеяний электронов на фононах. Квантово-механическое моделирование, математическая модель которого включает в себя систему уравнений Шредингера и Пуассона, позволяет определить зонную структуру и базовые свойства гетеросистемы. Полученная информация используется для расчета распределения носителей заряда в гетероструктуре. Для этого данные о волновых функциях и квантовых энергетических уровнях носителей заряда используются для определения вида интеграла столкновений в уравнении Больцмана для переноса зарядов. И далее осуществляется расчет подвижности носителей заряда в продольном направлении. При этом учитывается рассеяние на оптических и акустических фононах, внутри- и междолинное рассеяние. Cозданы также стохастические методы решения ситемы дифференциальных уравнений, описывающих транспорт электронов и дырок на основе нелинейно связанных между собой уравнений дрифта-диффузии для электронов и дырок, и уравнения Пуассона, градиент решения которого определяет дрифтовую скорость в исходном уравнении транспорта электронов и дырок. По данным работам написаны две статьи, одна из них направлена в журнал Journal of Semiconductors, вторая опубликована в журнале Journal of Parallel and Distributed Computing: 1. Kablukova E.G., Sabelfeld K.K., Protasov V., and Zhuravlev K. Simulation of charge carriers transport at strong electrical fields in heterostructures. Journal of Semiconductors, submitted, 2021. 2. K. Sabelfeld, S. Kireev, A. Kireeva, Parallel Implementation of Cellular Automata Model of Electron-Hole Transport in a Semiconductor. Journal of Parallel and Distributed Computing, 2021, v.158, 186--195 (Q1).