Аннотация результатов, полученных в 2017 году
Были продолжены измерения гидродинамического движения в ванне размером 70x70 см2, в которой при помощи плунжеров возможно возбуждение поверхностных волн различной конфигурации. Усовершенствованная методика “лазерного листа” позволила регистрировать вихревое движение под поверхностью на площади всей ванны. Экспериментально показано, что решетка вихрей, возникающая за счет взаимодействия двух монохроматических волн, распространяющихся в перпендикулярных направлениях, на малых временах t<<1/(2νk2) ослабевает с глубиной согласно экспоненциальному закону exp(-2kz), где k — волновой вектор возбуждаемых волн, z — расстояние до поверхности, a ν – кинематическая вязкости жидкости, в соответствии с теоретическими предсказаниями (стоксов дрейф). Экспериментально показано, что при некоторых условиях (возможность возбуждения волн с близкими волновыми векторами) взаимодействие волн приводит к появлению крупномасштабных вихрей, проникающих глубоко в жидкость, что видно по «сносу» завихренности, проникающей в объем из вязкого подслоя. Создана и отлажена экспериментальная установка для исследования волн, возбуждаемых на поверхности сверхтекучего гелия. На ней были выполнены исследования Фарадеевских волн, которые возбуждаются на поверхности He-II при интенсивных вертикальных колебаниях рабочей ячейки. Было показано, что наличие Фарадеевских волн может приводить к появлению макроскопических вихрей на поверхности сверхтекучей жидкости, аналогично поверхности обычной классической жидкости. Визуализация явлений на поверхности He-II легкими стеклянными трейсерами диаметром ~0.2 мм, локализованными под поверхностью He-II, впервые позволила наблюдать возникновение вихревой решетки на поверхности колеблющейся сверхтекучей жидкости в квадратной и цилиндрической ячейках и эволюцию структуры вихрей при выключении накачки. Экспериментально исследована эволюция вихревого течения, возбуждаемого электромагнитным методом в тонком слое проводящей жидкости. Мелкомасштабные вихри, возбуждаемые на масштабе накачки, вследствие нелинейности взаимодействия со временем сливаются с образованием более крупных вихрей, формируя обратный каскад. Зависимость энергетического спектра в развитом обратном каскаде хорошо описывается законом Крайчнана с показателем 5/3. В дальнейшем наблюдается формирование крупномасштабного когерентного вихревого течения, занимающего почти всю площадь экспериментальной ячейки. Впервые установлен радиальный профиль азимутальной скорости когерентного вихря. В сердцевине вихря азимутальная скорость растет линейно по радиусу и выходит на постоянное значение вне сердцевины, что хорошо согласуется с теоретическими предсказаниями. Теоретически показано, что вдали от шероховатой стенки порожденные шероховатостью флуктуации поля скорости носят универсальный характер, причем интенсивность флуктуаций спадает степенным образом при удалении от стенки (как первая степень для двумерных течений и как вторая для трехмерных течений). Парная корреляционная функция флуктуаций тоже спадает степенным образом, а характерная длина корреляции флуктуаций поля скорости равна расстоянию до шероховатой стенки. Проанализирована также корреляционная функция флуктуаций вблизи от стенки. Продолжено теоретическое исследование когерентных вихрей, которые возникают в двумерной турбулентности в конечной системе за счет обратного каскада. Мы проанализировали случай статической накачки, который мотивирован экспериментами по двумерной турбулентности, которая возбуждается электромагнитным методом. Проведенный анализ показывает, что в данном случае, как и для накачки, коротко коррелированной по времени, возникают изотропные когерентные вихри с плоским (не зависящем от расстояния до центра вихря) профилем скорости U в некотором интервале масштабов. При этом вихрь, как целое, случайно движется со скоростью, которая по порядку величины совпадает со скоростью вихря U. Это делает накачку эффективно конечно коррелированной в системе отсчета, связанной с вихрем, чем и объясняется плоский профиль. Результаты теоретического анализа хорошо соответствуют экспериментальным измерениям. Мы теоретически нашли поправку к декременту затухания вихревых приповерхностных течений, обусловленную нелинейным взаимодействием с поверхностными волнами. Эта поправка, как и ожидалось, оказалась отрицательной, что свидетельствует о передаче энергии вихревому движению от волн. Оценки показывают, что этот эффект может вести к неустойчивости вихревого движения для капиллярных волн, тогда как для гравитационных волн требует слишком большой амплитуды поверхностных волн, при которой уже происходит опрокидывание. В результате исследования эффекта от присутствия тонкой поверхностной эластичной плёнки мы показали, что плёнка увеличивает эффект генерации вихревых течений. Происходит это потому, что в присутствии пленки увеличивается вихревая компонента скорости в течении поверхностной волны. Нами было получено, что амплитуда вихревого течения, вызванного вязким нелинейным взаимодействием скрещенных поверхностных волн, увеличивается параметрически, если на поверхности жидкости присутствует плёнка с достаточно большим модулем эластической сжимаемости. Была построена зависимость стационарного значения амплитуды вихревого течения от значения этого модуля. Быть показано, что максимум амплитуды достигается при некотором промежуточном значении модуля сжимаемости, которое определяется частотой и волновым вектором поверхностной волны. Данный анализ позволяет достигнуть количественного согласия с экспериментальными измерениями. Продолжено теоретическое исследование проводимости электронов в чистом графене, которое может быть проанализировано в рамках двумерного уравнения Навье-Стокса. Показано аналитически, что металлический круглый источник, так же как и набор точечных источников в неограниченном пространстве создает напряжение только на своей поверхности, причем потенциал постоянен во всем пространстве. Таким образом предсказан новый эффект вытеснения электрического поля из области вязкого течения. Предложен новый метод определения распределения тока по распределению потенциала в вязком двумерном течении электронной жидкости; метод основан на использовании магнитного поля, перпендикулярного плоскости образца. Вычислены аналитически зависимости проводимости двумерного электронного газа в графене от температуры, концентрации носителей и размера отверстия и показано их удовлетворительное согласие с результатами измерений. Продолжено исследование возникновения особенности в динамике свободной поверхности жидкости при возбуждении ее движения. Найдено новое конформное преобразование, которое позволило отодвинуть сингулярности в динамике профиля поверхности от действительной оси. Продемонстрировано ускорении численного моделирования более чем в сто миллионов раз за счет этого преобразования. Впервые численно проверены аналитические предсказания классической статьи Longuet-Higgins о бесконечном числе осцилляций скорости волны Стокса с увеличением ее кривизны. Путем прямого численного моделирования продемонстрировано, что двумерная сжимаемая турбулентность реализует петлю потока: энергия, вкачиваемая накачкой, передается в большие масштабы за счет взаимодействия вихрей, а оттуда напрямую перебрасывается в малые масштабы за счет создания ударных волн.

Аннотация результатов, полученных в 2018 году
■ Развита экспериментальная методика распознания волн, распространяющихся по поверхности воды. Измеряется горизонтальная скорость движения декорирующих частиц как функция времени в поле волны последовательным сравнением кадров. Далее по результатам преобразования Фурье рассчитывается распределение значений скорости движения частиц по частоте, из которого устанавливается, какие волны распространяются по поверхности во время эксперимента [1]. ■ Нами была теоретически исследована пристеночная область эластической турбулентности в разбавленном полимерном растворе в пределе большого числа Вайсенберга. В предположении, что в пределах пограничного слоя растворенные полимеры можно рассматривать как пассивные объекты, нами была аналитически и численно исследована статистика растяжения полимеров, которая оказывается сильно неоднородной в нормальном к стенке направлении. Далее, налагая условие, что пассивный режим заканчивается на границе пограничного слоя, мы получили оценку для отношения среднего течения к характерной амплитуде флуктуационной компоненты поля скорости. Это соотношение определяется концентрацией полимеров, радиусом инерции полимера в равновесном состоянии и длиной полимера в полностью растянутом состоянии. Результаты представленного асимптотического анализа воспроизводят качественные особенности упругой турбулентности при конечных числах Вайсенберга [2]. ■ Выполнены экспериментальные исследования влияния переменного ускорения, вызванного вертикальными осцилляциями сосуда со сверхтекучем гелием, на формирование неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. Показано, что развитие неустойчивости Фарадея на осциллирующей поверхности приводит к существенному снижению критической скорости нормальной компоненты в объёме, выше которой начинает развиваться неустойчивость Кельвина-Гельмгольца [3]. ■ Относительно движение нормальной и сверхтекучей компонент Не-II приводит к квантовой неустойчивости Кельвина-Гельмгольца (НКГ) на их общей свободной поверхности. Мы установили интегрируемость и точные решения для нелинейной стадии развития этой неустойчивости. В отличие от обычной НКГ на границе между классическими жидкостями, динамика свободной поверхности He-II позволяет свести её описание к уравнению роста Лапласа. Это уравнение имеет бесконечное число точных решений, включая обычное формирование на свободной поверхности острых пиков за конечное время [4]. ■ Для визуализации вихревых течений, возникающих на поверхности сверхтекучего He-II при взаимодействии неколлинеарных поверхностных волн, в экспериментах в объём жидкости вводили полые стеклянные микросферы диаметром ~60 мкм и плотностью меньшей и близкой к плотности жидкого гелия, которые под поверхностью He-II объединялись в агрегаты (трассеры) характерными размерами 0.2-0.3 мм. Приведена теоретическая модель самоорганизации лёгких трассеров, покрытых слоем жидкого гелия, и формирования на поверхности He-II за счёт сил поверхностного натяжения макроскопических плоских структур — «снежинок» из стеклянных трассеров, которые наблюдались в этих экспериментах [5]. ■ Визуализация явлений на поверхности сверхтекучего He-II лёгкими стеклянными трассерами, локализованными в тонком слое под поверхностью жидкости, позволила впервые наблюдать возникновение на поверхности сверхтекучей жидкости в вибрирующей ячейке вихревого течения и двумерных макроскопических вихрей, которые образуются в результате нелинейного взаимодействия между неколлинеарными фарадеевскими волнами. Стоячие фарадеевские волны возбуждаются на поверхности He-II при вертикальных колебаниях ячейки с относительным переменным ускорением выше порога параметрической неустойчивости β>β_c≈0.04. Обнаружено, что при интенсивной волновой накачке на частоте в 40 Гц и длительной выдержке в течение ~270 сек зависимость кинетической энергии вихревой системы от волнового вектора E(k) при k≥4.5 см^(-1) можно описать степенным законом вида E(k)~k^(-3). Этот закон является признаком прямого каскада энстрофии, возбуждённого в вибрирующей ячейке в приповерхностном слое He-II глубиной ~0.4 см [6]. ■ Мы провели исследование влияния плёнки на амплитуду возбуждаемого волнами завихренного медленного течения. Мы определили как Эйлеров вклад в движение жидкости, так и вклад от Стоксового дрейфа. Отдельное внимание нами было уделено случаю, когда волновое движение представляет из себя две скрещенные волны. Суммарное, лагранжево, движение жидкости для установившегося режима описывается двумя затухающими вглубь экспонентами с декрементами затухания порядка обратной длины волны. Для проведения сравнения теории и экспериментальных данных, мы установили зависимость скорости затухания волн от эластических свойств плёнки. В результате по измеренной экспериментально скорости затухания волн мы получали информацию о модуле сжатия жидкой плёнки. Затем мы сравнивали теоретические оценки для возбуждаемого вихревого течения с учётом плёнки. Сравнивалось как асимптотическое по времени значение амплитуды решётки завихренного течения, так и его динамика. Соответствующие измерения мы проводили для волн частоты 3 Гц на растворе глицерина для того, чтобы эффективно снизить число Рейнольдса за счёт увеличения кинематической вязкости. Этот приём позволял снизить влияние крупномасштабного вихревого течения, которое неизбежно возбуждается при выбранном способе возбуждение волн. Указанное сравнение показало удовлетворительное согласие теории и эксперимента. Оставшееся расхождение возможно, по-видимому, приписать неучтённым свойствам плёнки (неизвестная сдвиговая вязкость, которая была положена равной нулю) [7]. ■ Экспериментально исследовалось распространение единичных пробных импульсов второго звука в волноводе с квантовой турбулентностью, генерируемой противотоком нормальной и сверхтекучей компонент гелия-II, при разных температурах. Было определено влияние плотности стационарного теплового потока (и плотности вихрей) на распространение импульсов второго звука, было показано качественное согласие формы регистрируемых сигналов с результатами компьютерного моделирования. Было проведено исследование влияния пробега пробного импульса на его амплитуду и энергию. Было показано, что времена формирования вихревой системы короче 1 с, в то время, как её распад существенно более продолжительный (десятки секунд) [8]. ■ Для теоретического исследования влияния стохастической шероховатости стенок микроканала на стационарное ламинарное течение несжимаемой ньютоновской жидкости была использована теория возмущений совместно со статистическими методами. Мы охарактеризовали обусловленные шероховатостью флуктуации скорости жидкости в терминах их пространственного профиля интенсивности, одноточечной функции распределения скорости, парной корреляционной функции и энергетического спектра. Если длина корреляции шероховатости намного меньше расстояния между стенками канала, флуктуации скорости обладают универсальной гауссовой статистикой, а их интенсивность как функция расстояния от стенки демонстрирует степенное поведение. Также мы рассмотрели перенос пассивного скаляра в стационарном поле скорости с относительно слабой случайной компонентой, генерируемой неровностями стенки. Показано, что в главном порядке по малой амплитуде шероховатости случайная компонента не приводит к усилению перемешивания пассивного скаляра в перпендикулярном к стенке направлении [9]. ■ Теоретически предсказано и экспериментально наблюдено появление текучести электронов в графене. Неожиданно оказалось, что в широком температурном диапазоне электронный поток является взаимодействующим, но не гидродинамическим, показывая признаки вязкого течения только при относительно высоких температурах. Переход между двумя режимами характеризуется резким максимумом отрицательного сопротивления, обнаруживаемого поблизости к инжектору тока. Сопротивление уменьшается по мере ухода системы в гидродинамический режим. В идеальном стиле темноты-перед-рассветом, отрицательный отклик определяемый взаимодействием электронов сильнее всего проявляется при переходе к квазибаллистическому режиму. Наша работа впервые демонстрирует, как взаимодействующая электронная система начинает вести себя как вязкая жидкость [10, 11, 12]. ■ Показано, что крупномасштабные течения в тонких слоях существенно зависят от способа их возбуждения: возбуждаемые со стенок Куэтт-течения не поддерживают турбулентности, как бы малы ни были вязкость и трение — вплоть до числа Рейнольдса 106. Напротив, при достаточно малых вязкости и трении возмущения разрушают ламинарный (Пуазейлевский) поток, возбуждаемый разностью давлений. Вместо него появляется бегущая волна в виде струи, проскальзывающей между пристеночными вихрями. Рассматривая барьер потока импульса в таком течении, мы вывели новый закон масштабирования для зависимости коэффициента трения от Re и подтвердили его прямым численным моделированием [13].