Аннотация результатов, полученных в 2017 году
(1) Классифицированы с точностью до послойного гомеоморфизма «некомпактные» бифуркации гамильтоновых систем с одной степенью свободы. В предположении конечности числа бифуркационных слоев получен полный инвариант лиувиллевой эквивалентности гамильтоновых систем с одной степенью свободы на некомпактных двумерных многообразиях. (2) Найдены все особенности типа седло-фокус сложности 1 для слоений Лиувилля с компактными слоями в случае систем с тремя степенями свободы. Тем самым проведена классификация с точностью до послойного гомеоморфизма невырожденных особенностей ранга 0 сложности 1 для вполне интегрируемых гамильтоновых систем с тремя степенями свободы. (3) Изучены фокусные особенности лагранжевых расслоений на 4-мерных симплектических многообразиях (известные также как нодальные особенности или торы с перетяжками). Показано, что в отличие от эллиптических или гладких особенностей, существуют гомеоморфные фокусные особенности, не являющиеся диффеоморфными. Получено алгебраическое описание пространства модулей фокусных особенностей с точностью до гладкой эквивалентности и показано, что для тора с двойной перетяжкой это пространство одномерно. Эта конструкция применена для опровержения гипотезы Зунга, утверждающей, что любая невырожденная особенность может быть гладким образом разложена в почти прямое произведение стандартных особенностей. (4) Описана топология слоений Лиувилля интегрируемых биллиардов в обобщенных областях, полученных из компактных плоских областей, ограниченных дугами софокусных эллипсов и гипербол, склейками как вдоль выпуклых, так и вдоль невыпуклых граничных сегментов. Также классифицированы обобщенные интегрируемые биллиарды (т.е. соответствующие обобщенные области указанного типа). (5) Описана (в терминах инварианта Фоменко-Цишанга) топология слоений Лиувилля на трехмерных неособых изоэнергетических многообразиях для следующих интегрируемых задач механики: - интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4), на любой ее регулярной орбите коприсоединенного представления; - «некомпактных» слоений Лиувилля, возникающих в семействе интегрируемых систем Чаплыгина-Горячева в динамике твердого тела в жидкости (перечислены все возникающие в этих слоениях бифуркации). Построены бифуркационные диаграммы отображения момента, получено описание особенностей отображения момента и изучены другие топологические свойства для следующих интегрируемых систем: - задачи о качении шара Чаплыгина с ротором; - интегрируемых систем на алгебре Ли е(3) с линейным периодическим интегралом; - интегрируемого случая Адлера-ван Мёрбеке на алгебре Ли so(4). (6) Исследован вопрос о существовании «устойчивых» нетривиальных траекторных инвариантов интегрируемых систем с 2 степенями свободы. Изучены непрерывные (т.е. мало меняющиеся при малых интегрируемых возмущениях систем) инварианты таких систем на компактных изоэнергетических 3-мерных многообразиях. Доказано, что всякий непрерывный траекторный инвариант является тривиальным, т.е. может быть выражен в терминах локальных экстремумов функции вращения на одно-параметрических семействах инвариантных торов при условии, что система допускает сечение Пуанкаре рода ноль. (7) Конструкция инвариантов Жордана-Кронекера обобщена на случай конечномерных представлений алгебр Ли. Показана связь инвариантов Жордана-Кронекера с другими естественными инвариантами представлений: структурой стабилизаторов, полиномиальными инвариантами и множеством особых точек. Получены оценки, связывающие минимальные индексы столбцов с количеством алгебраически независимых полиномиальных инвариантов представления и их степенями. Проведен сравнительный анализ двух различных подходов к определению подалгебр Мищенко-Фоменко в алгебрах Ли-Пуассона конечномерных алгебр Ли. Первый подход, общепринятый в алгебраическом сообществе, использует полиномиальные инварианты коприсоединенного представления. Второй основан на понятии формальных инвариантов и позволяет поэтому работать с произвольными алгебрами Ли, не обязательно алгебраическими. В этом смысле второй подход более универсален. Указаны необходимые и достаточные условия, при которых эти два типа подалгебр совпадают, и изучены их инфинитезимальные свойства. Обнаружено, что для некоторых важных геометрических структур, возникающих в проективной и с-проективной дифференциальной геометрии, существует тесная связь с конструкцией метода сдвига аргумента Мищенко-Фоменко. Более того, эту неожиданную связь можно эффективно использовать для решения геометрических задач. Это продемонстрировано в задаче об описании локальных нормальных форм псевдокэлеровых метрик в нулевым тензором Бохнера. Эта задача полностью решена. Кроме того, используя конструкцию сдвига аргумента, удалось построить серию новых примеров псевдоримановых и псевдокэлеровых симметрических пространств. (8) Изучено строение операторов Нийенхейса в окрестностях особых точек (т.е. таких, в которых спектр не является простым). Доказано совпадение левосимметрических алгебр и линейных операторов Нийенхейса. Доказано существование естественной структуры левосимметрической алгебры на касательном пространстве в такой особой точке, где оператор Нийенхейса становится скалярным. Получена классификация всех двумерных левосимметрических алгебр. Для каждой алгебры из полученного списка решен (в гладком случае) вопрос о линеаризуемости оператора Нийенхейса в окрестности точки. В аналитическом случае для двух алгебр полученного списка задача сведена к вопросу линеаризации векторных полей. Достаточное условие линеаризуемости, близкое к необходимому, получено в терминах чисел Брюно. (9) Исследована полулокальная устойчивость особенностей типа седло-седло, а также ее связь с характеристиками круговой молекулы особенности. Получен критерий покомпонентной устойчивости (т.е. устойчивости относительно интегрируемых возмущений некоторого специального вида, названных покомпонентными) для седловых особенностей ранга 0 в случае любого числа степеней свободы. Для каждой из 39 особенностей типа седло-седло сложности 2 выяснено, является ли она покомпонентно устойчивой, и в случае неустойчивости явно указано ее возмущение, расщепляющее особый слой. Получен алгоритм определения возможности расщепления особенности типа седло-седло сложности 2 по ее круговой молекуле. (10) Начато исследование симплектических инвариантов гамильтоновых систем с вырожденными особенностями. Получено описание симплектических инвариантов особых точек интегрируемых систем с одной степенью свободы (вещественно аналитический случай). Получена локальная симплектическая классификация таких особенностей. (11) Начато вычисление инвариантов Жордана-Кронекера для полупрямых сумм простых алгебр Ли с коммутативным идеалом: вычислены инварианты Жордана-Кронекера для алгебр Ли so(n)+(R^n)^k и sp(n)+(R^n)^k, являющихся полупрямыми суммами соответственно алгебр Ли so(n) и sp(n) с k экземплярами пространств их стандартных представлений. Полученные результаты опубликованы в 5 научных статьях в математических журналах, индексируемых базами WoS или Scopus, и представлены на 4 международных конференциях (13 докладов). 3 работы приняты к публикации, 2 работы сданы в печать и опубликованы в архиве (https://arxiv.org). На Механико-математическом факультете Московского Государственного университета работает регулярный семинар «Алгебра и топология интегрируемых систем» по тематике проекта (http://dfgm.math.msu.su/RSF_project.php).

Аннотация результатов, полученных в 2018 году
(1) Описана топология слоений Лиувилля для интегрируемых биллиардов и их обобщений: Для любой невырожденной бифуркации торов Лиувилля интегрируемой гамильтоновой системы (3-атома) дано алгоритмическое построение интегрируемой биллиардной книжки, в изоэнергетическом многообразии которой возникает такая бифуркация. Описана топология слоения Лиувилля на неособых изоэнергетических многообразиях для геодезического потока в поле сил упругого потенциала на двумерном эллипсоиде. (2) Изучены симплектические инварианты каспидальных (параболических) особенностей интегрируемых систем. Предложены новые методя для исследования симплектических инвариантов вырожденных особенностей более общего типа. (3) Получена классификация целочисленных аффинных 3-мерных многообразий, которые могут возникать как базы лагранжевых расслоений (без особенностей) на компактных симплектических многообразиях размерности 6. (4) Вычислены инварианты Жордана-Кронекера для многих естественных представлений классических алгебр Ли. (5) Показано, что билагранжев грассманиан как алгебраическое многообразие является приводимым и может содержать неприводимые компоненты малой размерности. Сформулирована гипотеза о разложении неприводимой компоненты лагранжева грассманниана максимальной размерности на орбиты группы автоморфизмов. Получен критерий продолжимости биизотропного подпространства до билагранжева в бипуассоновом пространстве. Для алгебры Ли so(n) доказана полнота бикоммутативного набора полиномов малых степеней, получаемого при помощи алгебраического оператора Нийенхейса-Соколова-Одесского на этой алгебре. Получено (легко проверяемое) достаточное условие полноты коммутативных подалгебр, построенных по алгебраическому оператору Нийенхейса. В качестве примера доказана полнота коммутативного набора, построенного по оператору Соколова-Одесского общего положения. (6) Классифицированы супер-интегрируемые системы Бертрана. Для конфигурационных многообразий вращения с экваторами доказано, что множество сильно бертрановых систем имеет бесконечную коразмерность в множестве бертрановых систем, а множество бертрановых систем в свою очередь имеет бесконечную коразмерность в множестве локально-бертрановых систем. (7) Получена классификация гамильтоновых систем с полными потоками на некомпактных двумерных многообразиях с точностью до топологической сопряжённости. (8) Продолжено исследование топологии слоений Лиувилля для конкретных интегрируемых систем с 2 степенями свободы (по п.5 плана на 2017 год, п.8 плана на 2018 год): Построены бифуркационные диаграммы и исследованы особенности для интегрируемой системы Ковалевской на алгебре Ли so(3,1). (9) Описаны нормальные формы операторов Нийенхейса в окрестности алгебраически регулярных особых точек. Описаны нормальные формы нильпотентных операторов Нийенхейса, удовлетворяющих уравнению А^3=0. Решена проблема линеаризации для диагональной лево-симметрической алгебры. Описаны нормальные формы согласованных пар (риманова метрика, оператор Нийенхейса) в окрестностях функционально невырожденных особых точек. Полученные результаты опубликованы в 8 научных статьях в математических журналах, индексируемых базами WoS или Scopus, и представлены на 10 международных конференциях (32 доклада). 2 работы приняты к публикации, 2 работы сданы в печать и одна из них опубликована в архиве (https://arxiv.org). На Механико-математическом факультете Московского Государственного университета работает регулярный семинар «Алгебра и топология интегрируемых систем» по тематике проекта (http://dfgm.math.msu.su/RSF_project.php).

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
(1) Для произвольных n,k построена биллиардная книжка, изоэнергетическое многообразие которой гомеоморфно линзовому пространству L(n,k). Реализовано слоение Лиувилля интегрируемого геодезического потока на торе, обладающего квадратичным первым интегралом, в виде слоения Лиувилля некоторой биллиардной книжки. Реализовано слоение Лиувилля неособого изоэнергетического многообразия интегрируемой гамильтоновой системы Горячева-Чаплыгина, обладающей дополнительным первым интегралом степени 3, в виде слоения Лиувилля некоторой биллиардной книжки. Вычислены функции вращения для плоских биллиардов, ограниченных дугами софокусных квадрик и содержащих фокусы. Также вычислены траекторные инварианты данных динамических систем. (2) (а) Получены локальная и полулокальная симплектические классификации параболических особенностей с резонансами для случая вещественно-аналитических систем с двумя степенями свободы. Доказана структурная устойчивость таких особенностей относительно интегрируемых возмущений. Разработаны новые методы для изучения симплектической классификации и структурной устойчивости общих многомерных особенностей вещественно-аналитических интегрируемых систем с произвольным числом степеней свободы. (б) Получена классификация орбит общего положения коприсоединенного представления группы симплектоморфизмов поверхности с границей. Классифицированы функции Морса на поверхности с краем относительно действия группы симплектоморфизмов. (3) Продолжено исследование невырожденных особенностей ранга ноль многомерных интегрируемых гамильтоновых систем. Получена классификация невырожденных особенностей ранга 0 для интегрируемых гамильтоновых систем малой сложности. (4) Завершена работа по исследованию инвариантов Жордана-Кронекера конечномерных представлений алгебр Ли. Для произвольного представления комплексной конечномерной алгебры Ли построен набор целых чисел, называемых инвариантами Жордана-Кронекера этого представления.  Среди прочих интересных свойств, эти числа дают нижнюю оценку на степени полиномиальных инвариантов представления. Доказано, что эти оценки становятся точными тогда и только тогда, когда инварианты независимы вне множества большой коразмерности.  Показано, что при некоторых дополнительных ограничениях наши оценки точны тогда и только тогда, когда алгебра инвариантов представления свободно порождена. Вычислены инварианты Жордана-Кронекера для полупрямых сумм алгебр sl(n)+(R^n)^k и gl(n)+(R^n)^k по стандартному представлению в случаях, когда k делит n с остатком 1 или остатком k-1. (5) (а) Была исследована задача о существовании биинтегрируемой системы для заданного пучка согласованных скобок Пуассона. (б) Как и планировалось, описаны особые точки систем Соколова-Одесского в терминах алгебр вырождения. Эти алгебры оказываются левосимметрическими. Оказалось, что полученные коммутативные наборы содержат централизатор полупростого элемента алгебры Ли gl особого вида. Однако, этого оказалось недостаточно для того, чтобы сравнить полученные таким образом коммутативные алгебры, с алгебрами Мищенко-Фоменко. (6) Классифицированы левоинвариантые римановы и субримановы метрики на трехмерных группах Ли, исследована динамика соответствующих геодезических потоков и натуральных систем, обобщающих классические интегрируемые случаи из динамики твердого тела. Более подробно: Показано, что любая левоинвариантная гамильтонова система на кокасательном расслоении 3-мерной группы Ли всегда интегрируема по Лиувиллю. Это свойство выводится из двумерности орбит коприсоединенного представления. В частности, интегрируемость является общим свойством всех таких групп независимо от их размерности. Классифицированы левоинвариантые римановы и субримановы метрики на трехмерных группах Ли. Описание таких метрик и соответствующих гамильтонианов дано явно в терминах глобальных координат на соответствующей группе, что позволяет легко получить параметрические уравнения геодезических в квадратурах. (7) Получена топологическая классификация 3-мерных особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы на некомпактных многообразиях при условии, что гамильтоновы потоки, порожденные первыми интегралами, полны, и хотя бы одна из орбит гамильтонова действия на особом слое содержит нетривиальный цикл. Показано, что всякая такая особенность допускает локально свободное гамильтоново действие окружности. (8) Продолжено исследование топологии слоений Лиувилля для конкретных интегрируемых систем с 2 степенями свободы: (а) Проведен топологический анализ натуральных механических систем с магнитным полем, инвариантных относительно вращения. (б) Завершено исследование топологии неособых изоэнергетических подмногообразий и слоений Лиувилля на них для интегрируемых систем Ковалевской на алгебрах Ли so(4) и so(3,1). А именно, были вычислены значения инварианта Фоменко-Цишанга для слоений Лиувилля на изоэнергетических подмногообразиях системы Ковалевской на алгебре Ли so(3,1). Получен полный список из 25 и 16 значений инварианта в случаях ненулевой и нулевой постоянной площадей соответственно. Показана лиувиллевая эквивалентность некоторых описанных слоений слоениям классического случая Ковалевской в механике твердого тела (случай алгебры Ли e(3)) и случая Соколова. (9) Были продолжены работы по изучению геометрии Нийенхейса, нового раздела современной дифференциальной геометрии. Результаты, идеи и методы, относящие к исследованию операторов Нийенхейса, направлены на развитие этого нового раздела. От локального описания операторов в точках общего положения предлагается перейти к исследованию их особенностей и глобальному анализу. Предложена конкретная программа исследований в этом направлении. Введена терминология, соответствующая новым задачам, развиты новые техники исследования (такие как аналитические функции от операторов Нийенхейса, теорема о расщеплении и метод линеаризации), обобщены известные факты и, что наиболее важно, доказан ряд новых, совершенно неочевидных результатов, демонстрирующих реалистичность предлагаемой исследовательской программы. Классифицированы двумерные левосимметрические алгебры и получена их полная классификация в терминах невырожденности в гладком и неполная в аналитическом случаях. В двумерном случае решена проблема линеаризации полностью. Кроме этого доказана невырожденность диагональной суммы одномерных левосимметрических алгебр в аналитическом случае. Изучен нормальный вид регулярного оператора не только в формальном, но и в аналитическом случае, установлена глубокая связь с системами гидродинамического типа. Оказалось, что такие операторы есть ни что иное, как гидродинамические потоки с максимальным количеством континуальных симметрий в случае, когда не выполняется условие гиперболичности. Доказано, что особые точки типа жордановой клетки образуют регулярную гиперповерхность коразмерности один, которая совпадает с множеством нулей определителя. Определитель при этом имеет вид степенной функции одной из координат в подходящей системе координат. Кроме этого удалось получить полную классификацию локальных геометрий регулярных операторов Нийенхейса в окрестности кривой вырождения в двумерном случае. Как оказалось, все такие нормальные формы полиномиальны, а их степень определяется степенью определителя. (10) Доказано существование двупараметрических семейств относительно-периодических решений, а также аналогов люков Кирквуда для планетно-спутниковых систем. Полученные результаты опубликованы в 3 научных статьях в математических журналах, индексируемых базами WoS или Scopus, и представлены на 10 международных конференциях (22 доклада) и 4 зарубежных семинарах (4 доклада). 8 работ приняты к публикации, 5 работ сданы в печать (включая одну опубликованную и одну принятую к публикации) в журналы и опубликованы в архиве (https://arxiv.org). На механико-математическом факультете МГУ работает регулярный семинар «Алгебра и топология интегрируемых систем» по тематике проекта (http://dfgm.math.msu.su/RSF_project.php).