Аннотация результатов, полученных в 2016 году
Сформулирована теоретическая основа одномоментного краткосрочного прогноза экстремальных волн в открытом море, основанного на обнаружении долгоживущих связанных нелинейностью волновых групп (солитонных групп). Для этого адаптирован аппарат метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) в рамках первого приближения для модулированных волн на глубокой воде – нелинейного уравнения Шредингера (НУШ). Параметры солитонных волновых групп (амплитуда и связанная с ней ширина, а также скорость) определяются спектром ассоциированной задачи рассеяния. Для учета локальной изменчивости волн и определения положения солитонных групп анализ применен для оконных выборок. Потенциальным преимуществом поиска долгоживущих волновых групп с помощью оконного МОЗР является возможность их обнаружения в сложных ситуациях, когда они «спрятаны» в фоновом волнении; другими словами, этот подход должен определять опасные модуляционно неустойчивые волновые цуги. Применение метода заключается в нескольких шагах: 1) определение волнового числа и комплексной функции огибающей; 2) решение прямой задачи рассеянмя – нахождение дискретной части нелинейного спектра; 3) восстановление размерных величин – амплитуды и скорости солитона огибающей; 4) прогноз динамики солитонной группы с учетом фонового волнения. Выполнен поиск устойчивого способа определения доминирующего волнового числа для выборки, поскольку его значение существенно влияет на результат применения МОЗР. Реализована «обратная связь» метода, позволяющая доопределять локальное волновое число для лучшего описания солитонной группы. Ее применение приводит к дополнительной устойчивости решения. Метод верифицирован на тестовых примерах: аналитических солитонных решениях НУШ с учетом поправок связанных волн трех порядков и солитоноподобных волновых группах, полученных в рамках потенциальных уравнений Эйлера. Рассмотрены случаи от умеренной до большой крутизны волн. Определяемая с помощью метода амплитуда солитонной группы соответствует полувысоте тестовой волновой группы с точностью 10%. Сформулированы принципы прогноза динамики солитонной группы – на основе точного бризерного решения НУШ для произвольного спектрального значения (обобщение решения Кузнецова-Ма). Прогноз включает оценку максимального достижимого смещения поверхности и времени его действительности. Вопрос возникновения экстремальных волн в результате взаимодействия солитонов исследован в рамках аналитических и численных решений интегрируемых уравнений. Сформулированы условия оптимальной фокусировки солитонов/солитонов огибающей/бризеров (в зависимости от модели), при которой парциальные амплитуды участвующих во взаимодействии структур складываются. Определяющим является выбор полярности солитонов или фазы солитонов огибающей и бризеров. В случае редко взаимодействующих солитонов преобладают парные взаимодействия, которые ведут к формированию экстремальных волн схожего профиля. Разработана процедура краткосрочного детерминистского прогноза эволюции однонаправленных морских волн на глубокой воде по данным об одномоментном смещении волновой поверхности. Для этого решаются две задачи: 1) восстановление поля скоростей волн, что необходимо для задания начальных условий; 2) расчет эволюции волн (прогноз). Результаты прямого численного моделирования нерегулярных волн со спектром JONSWAP в рамках потенциальных уравнений Эйлера использованы в качестве «эталонных» данных, имитирующих реальные морские волны. Реализации смещения поверхности использовались в качестве входных данных процедуры прогноза, при этом информация о потенциале скорости не использовалась. Для восстановления потенциала скорости использована итерационная процедура на основе асимптотической теории высокого порядка. Полученные таким образом начальные условия использовались для расчета эволюции волн в рамках различных моделей: линейной, слабо нелинейной модели НУШ и обобщенной модели НУШ (модель Диста-Трулсена). Рассмотрены поля волн, характеризуемые разными крутизнами: от умеренных до больших, когда происходят эпизодические обрушения. Для моделирования погрешностей в исходных профилях поверхности к ним добавлялась аддитивная случайная компонента. По результатам сопоставления прогностического моделирования с «эталонными» данными сделан вывод о существенном преимуществе модели Диста-Трулсена перед двумя другими. В случае умеренной крутизны волн среднеквадратичное расхождение между волновыми поверхностями достигало примерно 50% за 10 мин физического времени, а для большой крутизны – за 2 мин. При этом основной вклад в ошибку вносит неточность описания положения волн и их перекосов. Для моделирования реалистичных нелинейных волн проведена серия численных расчетов нерегулярных волн со спектрами JONSWAP на поверхности воды постоянной глубины. Накопленные данные позволили построить функции распределения вероятностей как для временных последовательностей регистрации смещения поверхности в точке, так и для одномоментных профилей. Результаты численного моделирования согласуются с данными долгосрочных измерений смещений поверхности в Балтийском море. В целом, доля высоких волн уменьшается с уменьшением глубины. С целью разработки методик быстрого прогноза характеристик наката волн проведено исследование наката асимметричных волн на берег в канале параболического сечения. Асимметрия волн достигнута за счет составной формы канала, где область постоянной глубины вдоль главной оси канала сопряжена с участком постоянного уклона дна. Для применения аналитической нелинейной теории мелкой воды использовано предположение, что высота начальной волны мала по сравнению с глубиной бассейна, а отражение от излома дна пренебрежимо мало. Рассмотрено три типа падающих волн: синусоидальная волна и одиночные волны положительной и отрицательной полярностей. Показано, что нелинейная деформация синусоидальной волны на участке постоянной глубины происходит быстрее, чем у одиночных волн положительной и отрицательной полярности. При этом укручение одиночных волн отрицательной полярности происходит несколько быстрее, чем у одиночных волн положительной полярности. У волн положительной полярности укручается передний, а у волн отрицательной полярности — задний фронт волны. При накате таких нелинейно деформированных волн на берег бухты параболического сечения различия в крутизне могут иметь решающее значение, поскольку высота наката волн на берег в бухте параболического сечения прямо пропорциональна крутизне подходящей к откосу волны и может привести к аномальным заплескам волн на берег. Проведена систематизация и анализ донных конфигураций, ведущих к значительному усилению поверхностных волн в прибрежной зоне, включая немонотонные донные профили для случая прямоугольного канала. При этом особое внимание уделено влиянию дисперсионных эффектов (геометрическая дисперсия) при распространении волн над такими донными профилями, поскольку комбинация эффектов безотражательного распространения и дисперсионной фокусировки способна привести к возникновению аномально высокой волны (волны-убийцы). В этом случае безотражательное распространение обеспечивает перенос энергии на большие расстояния и аномальное усиление всех волн вблизи берега, в то время как за счет механизма дисперсионной фокусировки может сформироваться одиночная короткоживущая аномально высокая волна (волна-убийца). Обнаружено несколько типов таких донных конфигураций с различными зависимостями локальной глубины вдоль главной оси канала. Они включают: (1) каналы убывающей глубины, (2) внутренний бассейн или озеро и (3) подводные горы. Найдены условия изменения частоты подходящего к берегу волнового пакета, необходимые для формирования волны-убийцы. Выполнены пусконаладочные работы на гидродинамической установке Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева. Проведены дополнительные работы по усилению каркаса, установлена ферма для крепления струнных датчиков смещения водной поверхности. Модифицированы конструкции весельного волнопродуктора и вертикальной заслонки для задач типа «разрушения плотины». Установка предполагает высокую степень автоматизации: при калибровке вертикального положения датчиков относительно дна или уровня налитой жидкости, подаче давления в уплотнительные трубки волнопродуктора и вертикальной заслонки при её быстром (1 м/c) опускании или подъеме. В этом году установка оборудована двумя активными ультразвуковыми датчиками, фиксирующими показания уровня воды в бассейне и аварийными датчиками перелива. Проведены пробные эксперименты по генерации последовательностей регулярных волн разной длительности. Волнопродуктор способен совершать колебательные движения в диапазоне частот 0.1-10 Гц с угловой амплитудой до 15 град и наиболее приспособлен для генерации волн в условиях глубокой воды, когда орбитальное движение частиц затухает с глубиной. Программное обеспечение для управления волнопродуктором находится в процессе усовершенствования. Алгоритм движения волнопродуктора базируется на использовании передаточной функции, коэффициенты которой находятся в стадии калибровки.

Аннотация результатов, полученных в 2017 году
Усовершенствован метод поиска солитонов огибающей (т.е., волновых групп, связанных нелинейностью, которые способны существовать аномально долго и взаимодействовать с окружающими волнами почти упруго) в моментальных профилях смещения поверхности, вызванного движением однонаправленных волн на глубокой воде. Метод основан на аппарате обратной задачи рассеяния для нелинейного уравнения Шредингера (НУШ). Алгоритм процедуры содержит три шага: 1) первичного поиска дискретных собственных значений ассоциированной задачи рассеяния в оконных выборках, 2) установления положений и длин волн заполнения солитонных групп и 3) уточненного решения для избранных (наиболее интенсивных) солитонных групп. Результатом применения процедуры является определение положений, амплитуд и скоростей солитонных волновых групп вне зависимости от окружающих их волн. Эффективность работы реализованного алгоритма проверена на тестовых примерах уединенных солитонных групп, столкновения солитонной группы с цугом модулированно неустойчивых волн, и эволюции поля нерегулярных однонаправленных волн с параметрами, характерными для условий моря (спектр JONSWAP). Профили смещения поверхности рассчитывались численно в рамках кода потенциальных уравнений Эйлера, учитывающего эффекты сильной нелинейности и сильной дисперсии. В частности, были рассмотрены случаи коротких групп крутых волн (до крутзины kH/2 = 0.3, где k – волновое число, H – максимальная высота волн в группе). Подчеркнем, что рассмотренные условия не удовлетворяют предположениям, обеспечивающим применимость интегрируемого НУШ, а потому моделируемые солитонные группы взаимодействуют с другими волнами не упруго. С другой стороны, рассмотренные примеры демонстрируют почти упругое поведение солитонных групп, что свидетельствует о перспективности развиваемого нами метода интерпретации динамики нелинейных волн в терминах солитонов НУШ. Так, в примере эволюции нерегулярных волн явно прослеживается медленная изменчивость амплитуды солитонной группы. Тестирование предложенного алгоритма на описанных выше примерах продемонстрировало повышение устойчивости определяемых величин (амплитуд и скоростей солитонных групп) в сравнении с ранее использовавшимся способом. Автоматическое определение положения и скоростей солитонных групп (в т.ч. в сложных ситуациях нерегулярных волн) реализовано впервые. Оценка эффектов завихренности на картину модуляционной неустойчивости волн на поверхности воды выполнена в рамках выведенного нелинейного уравнения Шредингера. Показано, что слабая завихренность не изменяет критерий модуляционной неустойчивости, вызывающей волны-убийцы, а влияет только на число волн в модулированных пакетах. Выполнено численное моделирование взаимодействия солитонных волновых групп, распространяющихся попутно, а также навстречу друг другу в рамках потенциальных уравнений Эйлера с учетом сильной нелинейности. Параметры численного моделирования соответствовали условиям ранее проведенных лабораторных экспериментов по генерации, распространению, отражению и взаимодействию интенсивных солитонных групп. Показано, что короткие солитоннные группы крутых волн приблизительно восстанавливают свою структуру после взаимодействий со стенкой или между собой, что согласуется с данными инструментальных измерений. Показано, что при взаимодействии со стенкой и в парных столкновениях максимальная амплитуда гребней волн увеличивается до 2.5 раз. В окрестности стенки возникает стоячая структура для огибающей волн с определенными точками узлов и пучностей независимо от фазы группы волн. Подробно рассмотрена форма групп и профили максимальных волн, возникающих в процессах взаимодействий. В ситуациях столкновения волновых групп с различными частотами заполнения обнаружена сильная асимметрия пакетов максимальных волн. При определенных сценариях встречных столкновений амплитуда наибольшей возникающей волны превышает значение при попутных столкновениях тех же солитонов. В рамках уравнений Эйлера с учетом эффектов сильной дисперсии и сильной нелинейности выполнено численное моделирование реалистичных трехмерных морских волн на поверхности глубокой воды для спектра JONSWAP и различных условий нелинейности волн, ширин углового и частотного спектра, возможности развития модуляционной неустойчивости. По итогам тестовых расчетов определены оптимальные условия численного моделирования и способ регуляризации спорадических обрушений. Исследован накат колоколообразных импульсов различной формы в линейно-наклонной бухте параболического сечения. Показано, что характеристики наката волн на берег (максимальная высота наката, максимальная скорость наката и отката волн, а также параметр обрушения волн) для различных импульсов положительной полярности с приемлемой точностью совпадают и могут быть параметризованы за счет общефизических параметров, таких как высота подходящей к берегу волны, ее длина (длительность) и расстояние до берега. Также показано, что высота наката волн на берег в бухте параболического сечения прямо пропорциональна крутизне переднего фронта подходящей к откосу волны. Выполнено исследование волновой динамики в бассейнах с так называемыми безотражательными донными конфигурациями. В частности, подробно рассмотрен так называемый согласованный канал переменного прямоугольного сечения. В этом случае волна не меняет своей формы по мере распространения, а неоднородность канала влияет только на время распространения волны. При этом форма волны в пространстве меняется. Показано, что в согласованном канале возможно распространение бегущей волны в рамках нелинейно-дисперсионной теории. Выведено обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза для слабо нелинейных слабодисперсионных волн. Детально рассмотрена трансформация уединенной волны (солитона) в таком канале, в частности при прохождении волны через уступ (скачок глубин). В контексте волн-убийц полученное обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза играет важную роль, потому что способно описать нелинейно-дисперсионную фокусировку волн на мелкой воде. Переменность параметров канала будет влиять на темпы и условия фокусировки волновых пакетов. Создаваемый в Нижегородском государственном техническом университете им. Р.Е. Алексеева гидродинамический лоток дооборудован съемными модулями, имитирующими различные профили берега: подводный уступ, наклонный плоский профиль и наклонный модуль со специальным «безотражательным» профилем. Изготовлен решетчатый волногаситель для предотвращения отражения волн от противоположной от волнопродуктора стенки. Для регистрации волн лоток оснащен струнными емкостными волномерами, закуплена система донных датчиков давления. В создаваемом волновом лотке выполнен ряд лабораторных экспериментов по моделированию наката волн на наклонный берег разного профиля для двух сценариев генерации волн: гидродинамический коллапс (обрушение плотины) или возбуждение одного или нескольких периодов волн волнопродуктором, и двух профилей дна: плоский откос и выпуклый безотражательный пляж. Промоделированы ситуации с обрушением волн на береговых склонах и до них. В случае необрушенных волн малой амплитуды высота наката выше в случае безотражательного пляжа, чем в случае плоского откоса. С увеличением начальной амплитуды эффекты обрушения волн сказываются сильнее на безотражательном донном профиле, содержащим более длинный участок малых глубин. Этот эффект приводит к тому, что высота наката на плоском откосе становится большей, чем на безотражательном откосе. Всего за время выполнения проекта опубликовано 10 основных статей в журналах, индексируемых Web of Science и 1 монография. Опубликована в Большой Российской Энциклопедии справочная статья «Волны-убийцы» исполнителей проекта, в которой кратко сформулированы суть явления, стоящие за ним физические механизмы, цели и актуальное состояние научных исследований.

Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Для поиска когерентных волновых групп, обеспечивающих повышенную вероятность высоких волн, разработан метод оконного спектрального анализа с использованием аппарата обратной задачи рассеяния для нелинейного уравнения Шредингера. Этот метод применен как на модельных примерах, так и для моментальных снимков нерегулярных волн с широким частотным спектром, рассчитанных кодом потенциальных уравнений Эйлера. Метод применен как для плоской геометрии (коллинеарные волны), так и для трехмерных волн (с небольшим разбросом направлений волн). С помощью такого анализа были выделены долгоживущие нелинейные группы солитонного типа с медленно меняющимися параметрами. Способность определять наличие таких долгоживущих групп в волновом поле может быть использована для краткосрочного прогноза «волн-убийц». Создан банк данных расчета нерегулярных трехмерных волн в рамках потенциальных уравнений Эйлера с учетом 4- и 5-волновых взаимодействий (High-Order Spectral Method) для различных значений параметров спектра JONSWAP и значительных высот волн. Для купирования эффектов обрушения волн выбран спектральный фильтр мелких масштабов, слабо изменяющий динамику волн в сравнении с консервативным случаем и обеспечивающий примерное сохранение полной энергии в системе. Данные численного моделирования использованы для исследования динамики и статистики волн, а также для тестирования предлагаемых методов анализа и прогноза «волн-убийц». Предложен и реализован оригинальный метод анализа нелинейных поверхностных волн, заключающийся в декомпозиции составляющих волн (свободных и связанных волн) в пространстве Фурье для волновых векторов и частот. С помощью предложенного метода впервые вычислена эволюция эксцесса свободных волн (т.н. динамического эксцесса) в рамках исходных уравнений гидродинамики. Подтверждено, что в случае узкополосного спектра суммарный эксцесс может значительно превышать значение для гауссовской статистики, демонстрируя аномально экстремальные волновые состояния. Значения динамического эксцесса заметно более умеренные и гораздо меньше зависят от увеличения значительной высоты волны по сравнению с полным эксцессом. Показано, что динамика когерентных нелинейных волновых групп в плане спектральной картины значительно отличается от классического сценария слабо нелинейных волновых взаимодействий. Когерентные группы генерируют нерезонансные (связанные) волны, которые могут быть синхронизированы с другими линейными волнами. В силу выявленного механизма группы могут излучать волны с одинаковой или разной длиной, которые распространяются в том же или противоположном направлении. Исследована связанная с этими эффектами неполная возвращаемость модуляционно неустойчивых групп волн в рамках полных по нелинейности потенциальных уравнений Эйлера. С помощью полного по нелинейности численного моделирования показано, что когда в результате развития самомодуляции возникает очень короткая группа крутых волн, она возбуждает другие волны различной длины, что препятствует полному повторению и, в конечном итоге, приводит к квазипериодическому процессу модуляции-демодуляции волн. Обнаруженные эффекты малы по величине, а время квазипериодической самомодуляции может составлять тысячи периодов волн. Таким образом, полученное решение можно назвать квазибризером уравнений Эйлера (прототипом «волны-убийцы»). Изучен накат уединенных волн положительной полярности в водном бассейне, состоящем из участка постоянной глубины и плоского откоса. Исследование проводилось аналитически в рамках нелинейной теории мелкой воды с помощью алгоритма, разработанного авторами ранее. Распространение волн вдоль участка дна постоянной глубины описывалось римановой волной, а накат волн на плоский пляж вычислялся с использованием строгих аналитических решений нелинейной теории мелкой воды Кэрриера-Гринспана. При распространении волны вдоль участка постоянной глубины волна становилась асимметричной с крутым волновым фронтом. Показано, что максимальная высота наката зависит от крутизны фронта подходящей к берегу волны. Предложена соответствующая формула для максимальной высоты наката, учитывающая крутизну переднего фронта уединенной волны. Эта зависимость универсальна для волн разной амплитуды и периодов и может быть аппроксимирована степенной зависимостью. Эта зависимость немного слабее соответствующей зависимости для синусоидальных волн, которая пропорциональна квадратному корню от крутизны переднего фронта волны. Используемый метод расчетов проверен на данных лабораторного эксперимента в Большом Волновом Канале (Ганновер, Германия) и с помощью прямого численного моделирования. Показано, что аналитические результаты находятся в согласии с результатами лабораторного и численного экспериментов. Выполнены работы по дооборудованию и усовершенствованию конструкции построенного в Нижегородском государственном техническом университете им. Р.Е. Алексеева гидродинамического лотка. А именно, усилена конструкция волнопродуктора, изготовлен и уже использован комплект креплений для датчиков давления, позволяющих устанавливать датчики как в дно гидродинамической установки, так и в любой донный профиль, включая горизонтальную установку. Изготовлены емкостные датчики новой модификации, которые способны синхронно записывать колебания водной поверхности с высокой частотой. Разработан и реализован прототип струнного резистивного волнографа с высокой частотой опроса, который уже успешно использован в экспериментах по генерации нерегулярного волнового поля с заданным спектром. Выполнены пробные эксперименты по воспроизведению в экспериментальном лотке волновых групп в условиях глубокой воды в выбранном диапазоне параметров частоты и амплитуды волн. Сделан вывод о необходимости уменьшения рабочей частоты волнопродуктора для возможности генерации плоских волн, что соответствует режиму промежуточной глубины бассейна. Выполнены эксперименты по измерению нерегулярных волн с заданными параметрами спектров и разной интенсивностью волн в условиях промежуточной глубины. Выполнены предварительные оценки соответствия реализованных волновых условий желаемым и рассчитаны распределения вероятности высот волн. Всего за время выполнения проекта опубликовано 14 статей в журналах, индексируемых Web of Science (8 из которых принадлежат к Q1), 2 монографии, а также справочная статья «Волны-убийцы» в Большой Российской Энциклопедии.