Аннотация результатов, полученных в 2016 году
В этом году мы исследовали влияние шума на нелинейные оптоволоконные каналы связи как бездисперсионные, так и каналы с ненулевой дисперсией. Для нелинейных бездисперсионных каналов связи мы вычислили первую и вторую поправки по параметру $SNR^{-1/2}$ к функции плотности условной вероятности P[Y|X]. Данная функция является плотностью вероятности получить на выходе из канала связи сигнал Y, если на вход в канал подается сигнал X. Параметр SNR -- это отношение мощности сигнала к мощности шума. Используя полученный результат, мы вычислили поправки к энтропии выходящего сигнала H[Y], условной энтропии H[Y|X] и взаимной информации. Используя поправки к взаимной информации, мы аналитически вычислили поправки к оптимальной функции распределения входящего сигнала $P_{opt}[X]$. Учет поправки к функции $P_{opt}[X]$ привел к уточнению полученного ранее результата для емкости нелинейного канала связи с нулевой дисперсией и позволил расширить область мощностей входящего сигнала, для которых применим полученный ранее результат. Был разработан метод и написан пакет программ для вычисления функции плотности условной вероятности для нелинейного бездисперсионного канала связи. Для демонстрации применимости метода мы вычислили корреляторы численно и показали, что результаты численных вычислений совпадают с аналитическими результатами. Данные вычисления являются первым шагом к численному нахождению функции плотности условной вероятности для канала с ненулевой дисперсией. Также нами была вычислена первая поправка по дисперсии к функции плотности условной вероятности для нелинейного оптоволоконного канала связи с малой дисперсией. Было показано, что для широкого класса распределений входящего сигнала данная поправка не меняет результат для взаимной информации, полученный для канала с нулевой дисперсией. Поэтому для изучения влияния дисперсии на емкость канала необходимо вычисление следующих поправок по параметру дисперсии к функции плотности условной вероятности. Для исследования нелинейных оптоволоконных каналов с большой дисперсией мы вычислили первую и вторую поправки по параметру керровской нелинейности к функции плотности условной вероятности P[Y|X] для нелинейного оптоволоконного канала связи с произвольной дисперсией. Используя найденные поправки к функции P[Y|X], мы вычислили поправки к взаимной информации. Мы показали, что поправка к взаимной информации для оптоволоконного канала связи отрицательна, квадратична по параметру керровской нелинейности и обратно пропорциональна коэффициенту дисперсии в канале связи с большой дисперсией. Это значит, что дисперсия в канале уменьшает влияние нелинейности. Нами предложен метод вычисления пропускной способности канала связи с конечной памятью с точностью до квадрата параметра нелинейной памяти. Выполнено сравнение с регулярной гауссовой моделью, в которой керровская нелинейность рассматривается как дополнительный гауссов шум. Показано, что оценка с помощью регулярной гауссовой модели дает большее значение пропускной способности по сравнению с оценкой, полученной в модели с нелинейной памятью. При этом оптимальные мощности сигналов, обеспечивающие наибольшую взаимную информацию, получаются одинаковыми.

Аннотация результатов, полученных в 2017 году
В рамках данного проекта в этом году мы исследовали нелинейные оптоволоконные каналы связи как с малым, так и с большим коэффициентом второй дисперсии. В одной из наших последних работ мы исследовали емкость нелинейного оптоволоконного канала связи с нулевой дисперсией в промежуточной области мощностей $N <<P<< (N \gamma^2 L^2)^(-1)$, где $N$ — мощность шума, $P$ — средняя мощность сигнала, $\gamma$ — коэффициент керровской нелинейности оптоволокна, $L$ — длина распространения сигнала. Для этого канала нам удалось вычислить емкость и оптимальную функцию распределения входящего в канал сигнала. Мы показали, что емкость бездисперсионного канала растет как $ log(log(P))$ в отличие от емкости линейного канала, для которого емкость растет как $log(P)$ при росте средней мощности входящего сигнала $P$. Для того, чтобы понять, как влияет дисперсия на емкость канала связи, мы исследовали нелинейный оптоволоконный канал связи с малым коэффициентом второй дисперсии. Для этого канала связи мы вычислили поправки к функции плотности условной вероятности P[Y|X], связанные с малой дисперсией, где $X(t)$ -- входящий сигнал, $Y(t)$ -- выходящий из канала сигнал. Затем мы оценили поправки к емкости и показали, что эти поправки увеличивают емкость нелинейного оптоволоконного канала связи. Это имеет простое физическое объяснение: дисперсионное слагаемое в уравнении приводит к уширению сигнала во временной области, что приводит к уменьшению пиковой мощности сигнала, что, в свою очередь, приводит к уменьшению влияния нелинейного члена в нелинейном уравнении Шредингера. Для данного канала связи мы разработали метод вычисления корреляторов выходящего из канала сигнала. Используя этот метод, нам удалось вычислить корреляторы выходного сигнала с точностью до первого порядка по параметру $L/L_{D}$, где $L_{D}$ -- характерная дисперсионная длина. Для численного исследования нелинейного оптоволоконного канала связи мы впервые применили ряд новых методов (численных схем расщепления по физическим процессам) шестого и восьмого порядка точности. Впервые выражения для интеграторов высокого порядка точности были получены в контексте исследования гамильтоновых механических систем в работе [1], однако до настоящего времени в литературе не сообщалось об использовании этих схем для интегрирования нелинейного уравнения Шредингера и, как следствие, отсутствовала информация об их эффективности в сравнении с наиболее часто используемыми схемами расщепления второго и четвёртого порядка. Целью проводимых исследований являлось сравнение эффективности новых численных схем и схем расщепления второго и четвёртого порядка, обычно используемых для численного интегрирования нелинейного уравнения Шредингера, и определение наиболее эффективной численной схемы. Нами показано, что для требуемой в данной работе точности вычисления корреляторов необходимо использование новой оптимальной схемы шестого порядка, которая обеспечивает повышение скорости расчётов в несколько раз. [1] Yoshida H. "Construction of higher order symplectic integrators", Phys. Lett. A 1990. Vol. 150, No. 5–7, P. 262–268. Нами также исследовался нелинейный оптоволоконный канал связи с большим коэффициентом второй дисперсии. Для этого канала связи мы вычислили взаимную информацию с точностью до второго порядка по параметру $L_{D}/L_{NL}$. Варьируя полученное выражение по функции плотности вероятности входящего сигнала, мы получили уравнение на функцию плотности вероятности этого сигнала, максимизирующую взаимную информацию в нулевом, первом и втором порядках по параметру керровской нелинейности. Решая данное уравнение, мы получили выражение для оптимальной функции плотности вероятности входного сигнала. Мы показали, что данная функция отлична от гауссовской. Также нашей группой выполнено численное моделирование канала с весовыми коэффициентами конечной нелинейной памяти. Найдены области мощности сигнала, где пропускная способность выше, чем у регулярного гауссова канала. Показано, что увеличение количества учитываемых соседних символов слабо влияет на пропускную способность канала. Численным расчетом установлено, что отрицательная средняя дисперсия линии уменьшает взаимодействие соседних импульсов.

Аннотация результатов, полученных в 2018 году
В этом году мы решали три задачи. Первая задача посвящена исследованию нелинейного канала связи, описывающегося нелинейным уравнением Шредингера с малой дисперсией и аддитивным гауссовским шумом. Для этих каналов связи мы исследовали влияние нелинейности, формы начального сигнала, спектральной ширины сигнала и приемника и конкретной работы приемника (с или без учета обратного распространения) на емкость канала связи. Исследования проводились как численно, так и аналитически. Мы начали наше рассмотрение с бездисперсионного канала связи. Пусть начальный сигнал $X(t)$ зависит от времени следующим образом: $X(t)=\sum с_n f_n(t)$, где $f_n(t)=f(t-n T)$, $f(t)$ -- действительная огибающая, а $с_n$ -- некоторые комплексные величины, которые несут передаваемую информацию. Мы выбираем огибающую $f(t)$ такой, что квадрат функции нормируется на единицу, а интеграл по времени от произведения $f_n(t)f_m(t)$ равен нулю в случае, когда $m$ не равно $n$. Сигнал, распространяясь по нелинейной линии связи, искажается и смешивается с шумом. Частотная ширина шума много больше, чем спектральная ширина входящего сигнала. После прохождения линии связи, сигнал $Y(t)$ попадает в детектор. В случае, когда спектральная полоса детектора совпадает или шире спектральной полосы сигнала $Y(t)$, детектор после получения сигнала убирает нелинейную фазу следующим образом: $Y_1(t)=Y(t)\exp(-i\gamma L |Y(t)|^2)$, где $\gamma$ -- коэффициент керровской нелинейности, $L$ -- длина распространения. Затем детектор проектирует полученную функцию $Y_1$ на огибающую $f_n(t)$ и измеряет коэффициент $b_n=\int Y_1(t)f_n(t)dt$. При такой работе детектора, в случае когда шум равен нулю, величина $b_n$ совпадает с передаваемой величиной $c_n$, т.е. мы полностью восстанавливаем передаваемый коэффициент и не теряем информацию. Поскольку шум не равен нулю, коэффициент $b_n$ не совпадает с $c_n$ и является случайной величиной. Для вычисления энтропий (условной энтропии и энтропии сигнала на выходе) такого канала связи передатчик-линия связи-детектор, мы должны вычислить функцию плотности условной вероятности P[B|C] получить последовательность коэффициентов $B={b_1,...,b_N}$, если передается последовательность коэффициентов $C={c_1,...,c_N}$. Для построения функции $P[B|C]$ мы используем полученную нами ранее функцию плотности условной вероятности бездисперсионного канала связи для функции, независящей от времени (одноканальная функция плотности условной вероятности P[Y_i|X_i]). Используя функцию P[Y_i|X_i], мы вычисляем корреляторы $<b_n>$, $<b_n b_m>$ и $<b_n b^*_m>$, в лидирующем и следующем за лидирующим приближении по параметру $1/SNR$, где $*$ обозначает комплексное сопряжение, а $SNR$ -- отношение мощности сигнала к мощности шума, $SNR = P/N$, здесь $P$ -- средняя мощность сигнала, $N$ -- средняя мощность шума. Все корреляторы были вычислены как аналитически, так и численно. Аналитические и численные результаты совпадают с точностью вычислений. Мы показали, что частотная ширина шума сильно влияет на коррелятор $<b_n>$, а именно, поправка по параметру $1/SNR$ к коррелятору содержит вклад шума не только из частотной полосы сигнала X(t), но и из частотной полосы шума, что может сильно изменить средние значения. Вычисленных корреляторов достаточно для построения функции плотности условной вероятности $P[B|C]$. Построенная функция $P[B|C]$ воспроизводит любые корреляторы $<b_n>$, $<b_n .. b _m>$ и $< b _n .. b ^*_m>$, в лидирующем и следующем за лидирующим порядке по параметру $1/SNR$. Используя найденную функцию $P[B|C]$, мы вычислили энтропию выходящего сигнала $H[B]$ и условную энтропию $H[B|C]$ при заданной форме огибающей $f(t)$. Затем мы вычислили взаимную информацию. После этого мы максимизировали ее по функции плотности вероятности входящего сигнала, т.е. по функции плотности вероятности $P[C]$, и нашли оптимальную функцию $P_{opt}[C]$. Взаимная информация принимает максимальное значение на этой функции. Вычисляя это значение, мы получили емкость канала и показали, что емкость зависит от коэффициента нелинейности $\gamma P L\xi$, где $\xi$ константа, которая выражается через два интеграла от шестой и четвертой степени огибающей $f(t)$. Таким образом, огибающая входит только через два интеграла. Затем мы показываем, что в промежуточной области средних мощностей входного сигнала и при условии $P>>N$ емкость растет как $\log\log (P/N)$, в отличие от однократного логарифма $\log(P/N)$, который получается в случае линейного канала связи, см. [C. Shannon, Bell Syst. Tech. J. \textbf{27}, 379 (1948); 27, 623 (1948)]. Вторая задача, которую мы рассматривали, это задача исследования влияния спектральной ширины детектора и шума на емкость канала с малой дисперсией, то есть случай, когда дисперсионная длина $L_D$ много больше нелинейной длины $L_{NL}$. В этом случае мы решаем задачу для такой же начальной функции $X(t)$, но с другой моделью детектора. Отличие детектора от описанного в предыдущей задаче заключается в том, что спектральная ширина принятого сигнала обрезается до спектральной ширины детектора $W_r$, затем выполняется процедура обратного распространения. Обозначим полученный таким образом сигнал как $Y_1(t)$. Затем, сигнал проектируется на огибающую и находится коэффициент $b_n=\int Y_1(t)f_n(t)dt$. При такой работе детектора, в случае когда шум равен нулю, а $W_r$ бесконечно велико, величина $b_n=c_n$, т.е. мы полностью восстанавливаем передаваемую информацию. Однако при конечном $W_r$ сигнал может искажаться значительно больше, чем за счет белого шума усилителей. Главный вывод из проделанных вычислений следующий: в существующих линиях связи основным источником шума при больших нелинейностях является частотный фильтр детектора, в котором теряется информация о сигнале, а не усилители, которые вносят белый шум. В качестве третьей задачи мы исследовали емкость канала связи с большой дисперсией, а также с произвольной дисперсией, но малой нелинейностью. Мы вычисляли поправки к функции плотности условной вероятности по параметру $L_D/L_{NL}$ для случая большой дисперсии и по параметру $\gamma P L$ для случая произвольной дисперсии и малой нелинейности, где $L_D$ -- дисперсионная длина, $L_{NL}$ -- нелинейная длина. Мы вычислили функцию плотности условной вероятности до членов порядка $(L_D/L_{NL})^2$ и $(\gamma P L)^2$ для первого и второго случая соответственно. Кроме того, мы вычислили функцию плотности условной вероятности в лидирующем и следующем за лидирующим порядке по параметру $1/SNR$. Вычисления проводились двумя различными методами. Первый метод основан на прямом вычислении континуального интеграла. Для этого действие в континуальном интеграле раскладывалось в ряд по параметру малой нелинейности, после чего проводилось интегрирование по частотным степеням свободы, которые лежат за пределами спектральной полосы детектора. Второй метод основан на решении нелинейного уравнения Шредингера с аддитивным шумом по теории возмущений по параметру керровской нелинейности и мощности шума. Используя найденные решения, мы вычислили корреляторы восстановленного входного сигнала, усредняя соответствующие произведения решений по реализациям шума. Мы показали, что оба способа вычислений приводят к одинаковому результату. Вычисления проводились для разной спектральной ширины детектора $W_r$. При вычислениях мы предполагали, что спектральная ширина $W_r$ много меньше спектральной ширины шума $W_N$ и больше или равна спектральной ширине начального сигнала $W_x$. Используя полученную функцию плотности условной вероятности, мы вычислили энтропию выходящего сигнала, условную энтропию и взаимную информацию с точностью до второго порядка по нелинейности. Максимизируя взаимную информацию, мы вычислили оптимальную функцию распределения начального сигнала и емкость этого канала связи с точностью до второго порядка по нелинейности. Главный результат заключается в том, что полученная оптимальная функция распределения не является гауссовской. Поэтому корреляторы четвертого порядка не выражаются через корреляторы второго порядка. Это означает, что для достижения емкости канала, передаваемая информация в некоторый момент времени зависит от переданной информации в предыдущие моменты времени. Поскольку мы вычислили оптимальную функцию распределения, мы нашли способ, как необходимо кодировать передаваемую информацию для достижения емкости канала. Кроме того, в настоящее время идет численная проверка оптимальности полученной функции распределения начального сигнала.