Разработка теоретических основ технологий создания «полезных» остаточных напряжений в элементах тонкостенных конструкций

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 19-71-00094

НазваниеРазработка теоретических основ технологий создания «полезных» остаточных напряжений в элементах тонкостенных конструкций

Руководитель Кержаев Александр Петрович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики Российской академии наук (ИТПЗ РАН) , г Москва

Конкурс №40 - Конкурс 2019 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-301 - Теория упругости, сопряженные модели

Ключевые слова бигармоническая проблема, прямоугольник, неоднородные задачи, термоупругость, функции Папковича–Фадля, остаточные напряжения, точные решения

Код ГРНТИ30.19.15, 30.19.53

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект направлен на решение следующих ключевых проблем: разработка принципиально новых математических методов решения бигармонической краевой проблемы теории упругости в прямоугольнике и построение на этой основе теории остаточных напряжений. Бигармоническая проблема для прямоугольника была и остается сложнейшей в теории упругости, в гидродинамике, в структурной инженерии и в математике. В математике она представляет собой эталонную проблему для различных аналитических и численных методов. Это важнейшая задача для тестирования уже существующих и разработки новых численных методов. Впервые примеры точных решений бигармонической проблемы, известной со времен Сен-Венана, были получены коллективом авторов (включая автора заявки) в последние несколько лет. Эти решения представляются в виде разложений по так называемым функциям Папковича–Фадля – собственным функциям краевой задачи. Научная новизна заключается в методе решения бигармонической проблемы. Предлагаемый метод не является развитием какого-либо из известных направлений. Его основу составляет разработанный автором (в соавторстве) аппарат преобразования Бореля в классе квазицелых функций экспоненциального типа (Kerzhaev A.P., Kovalenko M.D., Menshova I.V.: Borel transform in the class W of quasi-entire functions. Complex Anal. Oper. Theory 12(3), 571–587 (2018). doi: 10.1007/s11785-017-0643-y). Метод был продемонстрирован на примерах точных решений различных однородных краевых задач теории упругости в полуполосе и прямоугольнике (основных, смешанных, с разрывами сплошности). Его суть состоит в том, что к собственным функциям Папковича–Фадля можно построить биортогональные системы функций, с помощью которых в замкнутом виде (а не из решения бесконечных систем уравнений, как обычно) определяются неизвестные коэффициенты разложений. Тем самым получается точное решение бигармонической проблемы. Важнейшим следствием этого решения является теория остаточных напряжений – одна из ключевых проблем механики деформируемого твердого тела. Возможно, единственным ученым, заметившим связь между бигармонической проблемой и теорией остаточных напряжений, был классик теории упругости Д.И. Шерман (Шерман Д.И. Об одной задаче теории упругости // Доклады АН СССР. 1940. Т. 27, № 9. С. 907-913). Остаточные (начальные) напряжения есть практически везде: в сварных корпусах кораблей, в стволах артиллерийских орудий, в массивах горных пород. Они могут быть вызваны технологией изготовления, особенностями эксплуатации и т.д. В значительной степени начальные напряжения носят термоупругий характер. Самопроизвольное образование и развитие дефектов типа трещин, расслоений и т.п. во многих случаях вызвано именно температурными остаточными напряжениями. С разрядкой остаточных напряжений связаны такие катастрофические явления, как горные удары, внезапные обрушения при горнопроходческих работах и землетрясения. Здесь возникновение остаточных напряжений, как правило, обусловлено температурной предысторией формирования массива. Остаточные напряжения могут играть и определенную положительную роль, в частности, в строительной практике давно используют предварительно напряженные железобетонные изделия. Глубокое изучение остаточных напряжений и деформаций возможно лишь на основе строгих методов механики деформируемого твердого тела. Вместе с тем, соответствующие краевые задачи практически не ставились и не решались. Главная причина этого – отсутствие теории остаточных напряжений. Нельзя сказать, что математические модели не предлагались вовсе. Один из первых примеров ненулевого решения уравнений равновесия теории упругости с нулевыми граничными условиями был дан в статье (Гузев М.А., Ушаков А.А. Об одном классе ненулевых решений однородных уравнений равновесия механики деформируемого твердого тела // Фундаментальные и прикладные вопросы механики. Научная конференция, посвященная 70-летию со дня рождения акад. В.П. Мясникова. Владивосток. 2006. Доклад. С.43-44) и в работе (Макаров В.В. Деформационные предвестники геодинамических явлений в массивах горных пород // Вестник дальневосточного государственного технического университета. 2009. № 1(1). С. 38-47). Огромный практический опыт изучения остаточных напряжений в горной породе (в том числе температурных) накоплен группой ученых под руководством акад. Киргизской АН Айтматова И.Т. В частности, они полагают, что причиной тектонических землетрясений также, как и горных ударов, являются остаточные напряжения температурного генезиса. Но математических моделей, подтверждающих их догадки, пока нет. Актуальность проекта обусловлена тем, что рассматриваемые в проекте задачи относятся к числу важнейших, классических, нерешенных проблем механики и математики. Они представляют собой фундамент инженерных методов расчета на прочность, надежность и долговечность. Изучение природы, в частности, термоупругих остаточных напряжений в конечных областях, потенциально содержащих концентраторы напряжений (угловые точки области и точки смены типа граничных условий, трещины), поможет предложить пути совершенствования технологий с целью создания «полезных» остаточных напряжений и тем самым оптимизировать конструкцию.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Коваленко М.Д., Меньшова И.В., Кержаев А.П. The semi-strip with longitudinal stiffeners in tension-compression and bending: Exact solution International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics (ICNAAM 2019), AIP Conference Proceedings (год публикации - 2020)

2. Матросов А.В., Коваленко М.Д., Меньшова И.В., Кержаев А.П. Method of initial functions and integral Fourier transform in some problems of the theory of elasticity Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik, 71, Article number: 24 (год публикации - 2020)
10.1007/s00033-019-1247-3

3. Кержаев А.П. Two nonhomogeneous boundary value problems for a rectangle: Exact solutions 10th International Conference on Applied Physics and Mathematics (ICAPM 2020), IOP Journal of Physics: Conference Series (год публикации - 2020)

4. Кержаев А.П. Nonhomogeneous boundary value problem for a clamped rectangle: Exact solution Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences 12th International Conference - AMiTaNS’20, AIP Conference Proceedings (год публикации - 2020)

5. Коваленко М.Д., Меньшова И.В., Кержаев А.П., Юй Г. Nonhomogeneous boundary value problem of the theory of elasticity in a half-strip: exact solution Journal of Engineering Mathematics (год публикации - 2020)

6. Коваленко М.Д., Меньшова И.В., Кержаев А.П., Юй Г. A boundary value problem in the theory of elasticity for a rectangle: exact solutions Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik, Volume 71, Issue 6, Article number: 199 (год публикации - 2020)
10.1007/s00033-020-01425-2

7. Кержаев А.П. Thermal Stresses in an Elastic Clamped Square: Exact Solution Journal of Physics: Conference Series, Volume 1730, Article number: 012143 (год публикации - 2021)
10.1088/1742-6596/1730/1/012143

8. Коваленко М.Д., Меньшова И.В., Кержаев А.П., Юй Г. Неоднородная задача теории упругости в полуполосе. Точное решение Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 6, С. 33–39 (год публикации - 2020)
10.31857/S0572329920060094

9. Коваленко М.Д., Меньшова И.В., Кержаев А.П., Юй Г. Eigenfunction Expansion for the Elastic Rectangle Journal of Physics: Conference Series, Volume 1593, Article number: 012008 (год публикации - 2020)
10.1088/1742-6596/1593/1/012008

10. Меньшова И.В., Кержаев А.П., Шуляковская Т.Д., Зенг К. The boundary value problem of the theory of elasticity in a rectangle: An exact solution AIP Conference Proceedings, Volume 2302, Article number: 100005 (год публикации - 2020)
10.1063/5.0033535

11. Кержаев А.П. Nonhomogeneous boundary value problem for a clamped rectangle: Exact solution AIP Conference Proceedings, Volume 2302, Article number: 060006 (год публикации - 2020)
10.1063/5.0033546

12. Коваленко М.Д., Меньшова И.В., Кержаев А.П., Юй Г. An inhomogeneous problem for an elastic half-strip: An exact solution Mathematics and Mechanics of Solids (год публикации - 2021)
10.1177/1081286521996418

13. Коваленко М.Д., Меньшова И.В., Кержаев А.П., Юй Г. Expansions in terms of Papkovich–Fadle eigenfunctions in the problem for a half-strip with stiffeners Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (год публикации - 2021)
10.1002/zamm.202000093

14. Меньшова И.В., Кержаев А.П., Юй Г., Зенг К. Formation of discontinuities in rectangular plates as a result of residual stress relief IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, Volume 999, Article number: 012004 (год публикации - 2020)
10.1088/1757-899X/999/1/012004

15. Коваленко М.Д., Меньшова И.В., Кержаев А.П., Юй Г. A temperature problem for a square: An exact solution Mathematics and Mechanics of Solids (год публикации - 2021)

16. Кержаев А.П. Thermoelastic problem for a free square plate: Exact solution Journal of Physics: Conference Series (год публикации - 2021)

17. Коваленко М.Д., Меньшова И.В., Кержаев А.П., Шуляковская Т.Д. Некоторые решения теории упругости для прямоугольника Прикладная математика и механика, Т. 85, № 3, С. 357–369 (год публикации - 2021)

Публикации

16. Кержаев А.П. Thermoelastic problem for a free square plate: Exact solution Journal of Physics: Conference Series (год публикации - 2021)